慣性とは、特定の質量の物体が動き始めたとき、または逆に外力によって停止したときに提供される抵抗の尺度です。慣性、または変化に抵抗するオブジェクトの傾向は、質量によって異なります。軽い物体と比較して、重い物体は静止しているときに加速するのが難しく、動いているときに止めるのも同様に困難です。
物理学における接頭辞「の瞬間」は、線形量の回転対応物を表すために使用されます。したがって、「慣性モーメント」は、直線運動の質量に相当する回転です。 「私」で示されます .同様に、「モーメント オブ フォース」は、トルクとも呼ばれる直線力に相当する回転力です。 .
慣性モーメントの計算方法
回転軸に対する回転物体の慣性モーメント「I」は、その質量と回転軸からの距離の 2 乗の積によって与えられます。ただし、これは、特定の角速度でぐるぐる回る紐に取り付けられたオーブなど、均一または通常のオブジェクトにのみ当てはまります。
不均一なオブジェクトの場合、慣性モーメントは個々の point の積の合計によって計算されます 質量と回転軸からの対応する距離。この一般化された関係を使用して、任意のシステムの慣性モーメントを計算できます。これは、任意のオブジェクトが同様の 点 の集合体として構成できるためです。
さまざまな距離での質量のこのような連続分布の慣性モーメントを計算するには、微積分を使用します。これは、連続変数を巧みに扱うためです。
差分を使用します 質量の要素、質量の極小の塊 dm .微分慣性モーメントは dI =r²dm です。 .慣性モーメント 「I」 を計算するには 質量 'M', 全体の 微分慣性モーメント dI を合計します dm による寄稿 表面全体。または単に、統合します。
ロッドの慣性モーメント
線密度 λ となる質量「M」、長さ「L」の棒を考えてみましょう。 はM/Lです。 回転軸の位置に応じて、ロッドは 2 つのモーメントを示します。 2 つは、軸がその 2 つの端の 1 つを通って垂直に配置されている場合です。
重心を通る軸
質量 dm, の微小要素に似ています 長さ dl の無限小要素を考える それに対応する。 軸の線上にある質量の中心に原点を描くと、原点からその端までのロッドの左側の距離は -L/2 であることがわかります。 一方、原点から右端までの距離は +L/2 です。
ロッドが均一であると仮定すると、線密度は次のように一定のままです。
dm の値を代入する 慣性モーメントを計算する式では、次のようになります。
積分の変数は長さ (dl) であるため、 制限は、以前に描かれた M から L の必要な分数に変更されました。
端を通る軸
軸が端の 1 つにあるときのロッドの慣性モーメントを計算するために、この端に原点を描きます。
同じ式を使用する必要がありますが、現在は制限が異なります。軸は端にあるため、積分の限界はゼロ (原点) から L (反対側の端) になります。
統合後、以下が得られます:
<強い> 
平行軸の定理を使用して、端部の慣性モーメントについても同じ結果を得ることができます。 それによれば：
L (com,end) は L/2 であるため、 次のことがわかります。
<強い> 
これは、以前に導き出した結果と一致しています。
