解決策： このシステムのシュレーディンガー方程式は、$$ - \ frac {\ hbar^2} {2m} \ left（\ frac {\ partial^2} {\ partial x^2}+\ frac {\ partial^2} {\ partial y^2} \ right ）\ psi（x、y）+\ frac {1} {2} m \ omega^2（x^2+y^2）\ psi（x、y）=e \ psi（x、y）$$
変数を分離し、波動関数は2つの関数、$ \ psi（x、y）=x（x）y（y）$の積として記述できると想定できます。
$$ - \ frac {1} {2m} \ frac {x ''} {x} =\ frac {1} {2m} \ frac {y ''} {y}+\
この方程式のLHSはxのみに依存しますが、RHSはyにのみ依存します。したがって、双方は定数に等しくなければなりません。これは$ e_n $で示すことができます。
$$ - \ frac {1} {2m} \ frac {x ''} {x} =e_n、\ frac {1} {2m} \ frac {y ''} {y} =e-e_n。$$
これらは2つの独立した1次元高調波発振器の問題であり、その解決策はよく知られています。 X方向の動きのエネルギー固有値は次のとおりです。
$$ e_n =\ hbar \ omega \ left（n+\ frac {1} {2} \右）、n =0,1,2、... $$
同様に、y方向の動きのエネルギー固有値は、同じ式で与えられます。したがって、2次元システムの総エネルギー固有値は次のとおりです。
$$ e_ {n_x、n_y} =\ hbar \ omega \ left（n_x+n_y+1 \ right）、n_x、n_y =0,1,2、... $$
対応する固有権は、1次元高調波発振器関数の積です。
$$ \ psi_ {n_x、n_y}（x、y）=\ phi_ {n_x}（x）\ phi_ {n_y}（y）、$$
どこ
$$ \ phi_n（x）=\ frac {1} {\ sqrt {2^n n！}} \ left（\ frac {m \ omega} {\ pi \ hbar} \ right）^{1/4} h_n \ left（\ sqrt {\ frac {m \ omega} {\ hbar}} x \ right）e^{ - m \ omega x^2/2 \ hbar}、$$
$ h_n $はエルマイト多項式です。
