単位体積あたりの弾性ひずみエネルギーの導出
ひずみエネルギー密度としても知られる単位体積あたりの弾性ひずみエネルギー 、弾性変形のために材料内に保存されているポテンシャルエネルギーの量を表します。これが派生です：
1。変形中に行われた作業：
一軸ストレスを受けている材料を想像してください（一方向のストレス）。応力はσで示され、ひずみはεで示されます。材料が無限の量のdεで伸びる場合、ストレスによって行われる作業は次のとおりです。
dw =σ * a *dε
ここで、Aは材料の横断面積です。
2。完了した総作業：
材料をε=0からε=εf（最終的なひずみ）に変形させる際に行われた総作業を見つけるために、上記の方程式を統合します。
w =∫dw=∫ 0 εf σ * a *dε
3。単位体積あたりのひずみエネルギー（U）：
ひずみエネルギー密度（U）は、単位体積あたりの合計作業です。
u =w/v =（1/v） *∫ 0 εf σ * a *dε
4。ストレスとひずみの関係を置き換える：
直線的に弾性材料の場合、ストレスとひずみはフックの法則であるσ=eεに関連しています。ここで、eはヤング率です。これをuの方程式に置き換える：
u =（1/v） *∫ 0 εf eε * a *dε
5。積分の簡素化：
Eとaは定数であるため、積分からそれらを取り出すことができます。
u =（ea/v） *∫ 0 εf ε *dε=（ea/v） *（εf 2 /2）
6。ボリュームの認識：
体積（v）はa * lとして表現できます。ここで、lは材料の初期長です。 これを方程式に置き換えます：
u =（e * a *εf 2 ） /（2 * a * l）=（e *εf 2 ） /（2 * l）
7。最終式：
最後に、εf=ΔL/Lであるため、Δlは長さの変化であるため、長さの変化に関してひずみエネルギー密度を発現できます。
u =（e *（Δl） 2 ） /（2 * l 2 ）
この方程式は、一軸応力を受けている材料の弾性ひずみエネルギー密度を表しています。より複雑なストレス状態の場合、導出には、より複雑な応力 - 抑制関係と複数の次元にわたる統合が含まれます。
重要なメモ：
*この派生は、フックの法則に続く線形弾性材料を想定しています。
*ひずみエネルギー密度はスカラー量であり、材料の単位体積あたりのエネルギーを表します。
*この式は、弾性変形のみを考慮します。塑性変形の場合、エネルギーは熱として消散し、弾性ひずみエネルギーの概念は適用できません。
