私たちの心の目では、宇宙は永遠に続いているように見えます。しかし、幾何学を使用すると、「通常の」無限空間に代わるさまざまな 3 次元形状を探索できます。
はじめに
夜空を眺めると、宇宙がどこまでもどこまでも広がっていくように見えます。これが宇宙に対する私たちのメンタルモデルですが、必ずしも正しいわけではありません。結局のところ、地球の曲率は検出するには微妙すぎて、球形の地球は計り知れなかったため、誰もが地球は平らだと考えていた時代がありました。
今日、私たちは地球が球の形をしていることを知っています。しかし、私たちのほとんどは宇宙の形についてほとんど考えていません。球体が平面の地球に代わるものを提供したのと同じように、他の 3 次元の形状も「通常の」無限空間に代わるものを提供します。
宇宙の形について、別々ではあるが相互に関連している 2 つの質問をすることができます。 1 つはその幾何学に関するもので、角度や面積などの局所的な詳細な測定値です。もう 1 つはトポロジーに関するもので、これらのローカルな部分がどのようにして全体的な形状に縫い合わされるのかというものです。
宇宙論的な証拠は、私たちが見ることができる宇宙の部分は少なくともほぼ滑らかで均質であることを示唆しています。空間の局所構造は、どの点でもどの方向でもほぼ同じに見えます。この説明に当てはまるのは、平面、球面、双曲線の 3 つの形状だけです。これらの幾何学、いくつかの位相幾何学的考察、そしてどの形状が私たちの宇宙を最もよく表すかについて宇宙論的な証拠が何を示しているかを探ってみましょう。
フラットなジオメトリ
これは私たちが学校で習った幾何学です。三角形の角度を合計すると 180 度になり、円の面積は πr になります。 2. 平らな 3 次元形状の最も単純な例は、通常の無限空間 (数学者がユークリッド空間と呼ぶもの) ですが、考慮すべき他の平らな形状もあります。
これらの形状を視覚化するのは難しいですが、3 次元ではなく 2 次元で考えることで、ある程度の直感を構築することができます。通常のユークリッド平面に加えて、平面の一部を切り取って端をテープで貼り合わせることで、他の平面形状を作成できます。たとえば、長方形の紙を切り取り、反対側の端をテープで留めるとします。上下の端をテープで留めると、円柱が得られます。
次に、右端と左端をテープで留めて、ドーナツ (数学者がトーラスと呼ぶもの) を作成します。
さて、あなたは「これは私には平坦に見えない」と思うかもしれません。そして、あなたは正しいでしょう。フラット トーラスがどのように機能するかを説明する際に少し騙しました。実際にこの方法で一枚の紙からトーラスを作ろうとすると、困難に遭遇するでしょう。円柱を作るのは簡単ですが、円柱の端をテープで固定するのはうまくいきません。紙はトーラスの内側の円に沿ってしわくちゃになり、外側の円に沿って十分に伸びません。紙の代わりに伸縮性のある素材を使用する必要があります。しかし、このストレッチにより長さと角度が歪み、ジオメトリが変化します。
通常の 3 次元空間内では、平らなジオメトリを歪めずに、平らな素材から実際の滑らかな物理的トーラスを構築する方法はありません。しかし、平坦なトーラス内で生活するのがどのような感じかを抽象的に推論することはできます。
あなたが平面のトーラスである宇宙を持つ 2 次元の生き物であると想像してください。この宇宙の幾何学形状は平らな紙から作られているため、私たちが慣れ親しんでいるすべての幾何学的事実は、少なくとも小さいスケールでは通常と同じです。たとえば、三角形の角度の合計が 180 度になるなどです。しかし、切断とテープ作成によってグローバル トポロジに加えた変更は、トーラスでの生活の経験が、私たちが慣れ親しんでいるものとは大きく異なるものになることを意味します。
まず、トーラス上には、一周して開始位置に戻る直線パスがあります。
これらのパスは、歪んだトーラス上では曲がって見えますが、平らなトーラスの住人にとってはまっすぐに感じられます。また、光は直線の道を進むため、これらの方向のいずれかをまっすぐ前方を見ると、自分を後ろから見ることになります。
元の紙の上では、あたかもラップアラウンド ビデオ ゲームにいるかのように、光が後ろから左端に到達し、右端に再び現れるかのように見えます。
これについての同等の考え方は、あなた (または光線) が 4 つの端の 1 つを横切ると、新しい「部屋」のように見える場所に現れますが、実際には同じ部屋であり、新しい視点から見ただけであるということです。この世界を歩き回っていると、元の部屋の無限のコピーに遭遇する可能性があります。
つまり、さまざまな方向を見ることで、無限に多くの異なる自分のコピーを見ることができるということです。これは一種の鏡の間効果ですが、あなたのコピーが反射ではない点が異なります。
ドーナツでは、これらは、光があなたからあなたに戻ってくるさまざまなループに対応しています。
同様に、立方体または他の箱の反対側の面を接着することによって、平らな 3 次元トーラスを構築できます。私たちはこの空間を通常の無限空間内のオブジェクトとして視覚化することはできません。単純に適合しません。しかし、その中の生命について抽象的に推論することはできます。
2 次元トーラスでの生活が、無限に配列された同一の長方形の部屋の 2 次元配列に住んでいるようなものであるのと同様に、3 次元トーラスでの生活は、無限に配列された同一の立方体部屋の 3 次元配列に住んでいるようなものです。自分自身のコピーが無限に表示されることになります。
TechR
から引用3 次元のトーラスは、10 の異なる平面の有限世界の 1 つにすぎません。無限の円柱の 3 次元の類似物など、平面的な無限の世界もあります。これらのそれぞれの世界で、異なる鏡の間の配列を体験できます。
私たちの宇宙は、これらの他の平面的な形状の 1 つでしょうか?
私たちが宇宙に目を向けたとき、自分自身のコピーが無数に存在するわけではありません。それでも、これらの平らな形状を除外するのは驚くほど難しいです。まず、それらはすべてユークリッド空間と同じ局所幾何学形状を持っているため、局所的な測定ではそれらを区別できません。
そして、もしあなたが自分自身のコピーを見たとしたら、光はあなたに届くまでに長い時間を要したため、その遠くにある画像はあなた（あるいはあなたの銀河など）が遠い過去にどのように見えたかを示すことになるでしょう。もしかしたら、私たちはそこに自分自身の認識できないコピーを見ているのかもしれません。さらに悪いことに、自分の異なるコピーは通常、あなたからの距離が異なるため、ほとんどのコピーは互いに同じには見えません。そしておそらく、それらはいずれにせよ、私たちが見るには遠すぎるのかもしれません。
これらの困難を回避するために、天文学者は通常、自分自身のコピーではなく、私たちが見ることができる最も遠いもの、つまりビッグバン直後に残った宇宙マイクロ波背景放射 (CMB) の中にある繰り返しの特徴を探します。実際には、これは、ホット スポットとコールド スポットのパターンが一致する円のペアを CMB 内で検索することを意味し、それらが実際には 2 つの異なる方向から見た同じ円であることを示唆します。
2015 年、天文学者はプランク宇宙望遠鏡からのデータを使用して、まさにそのような探索を実行しました。彼らは、平らな 3 次元トーラスまたはスラブと呼ばれる他の平らな 3 次元形状の内部に見られるであろう、一致する円の種類を求めてデータを精査しましたが、それらを見つけることはできませんでした。つまり、もし私たちがトーラスの中に住んでいるとしたら、それはおそらく非常に大きいので、繰り返しのパターンは観測可能な宇宙の彼方にあるということになります。
球状ジオメトリ
私たちは皆、ボール、オレンジ、地球などの 2 次元の球体についてよく知っています。しかし、私たちの宇宙が 3 次元の球体であるということは何を意味するのでしょうか?
3 次元の球体を視覚化するのは難しいですが、簡単な例えで定義するのは簡単です。 2 次元の球体が、通常の 3 次元空間の中心点から一定の距離にあるすべての点の集合であるのと同様に、3 次元の球体 (または「3 球」) は、4 次元空間の中心点から一定の距離にあるすべての点の集合です。
3 つの球体での生活は、平面空間での生活とは大きく異なります。その感覚をつかむために、あなたが 2 次元の球体に住んでいる 2 次元の存在であると想像してください。 2 次元の球体は宇宙全体であり、周囲の 3 次元空間は見えず、アクセスすることもできません。この球状の宇宙内では、光は可能な限り最短の経路、つまり大圏に沿って進みます。あなたにとって、これらの大円は直線のように感じられます。
ここで、あなたと 2 次元の友人が北極でぶらぶらしていて、あなたの友人が散歩に出かけていると想像してください。友人が歩き去ると、最初は、私たちの通常の世界と同じように、視覚円の中で友人がどんどん小さく見えます (ただし、私たちが慣れているほど急速には縮みません)。それは、あなたの視覚の輪が大きくなるにつれて、友人が占める割合が小さくなるためです。
しかし、あなたの友人が赤道を通過すると、何か奇妙なことが起こります。あなたから遠ざかるほど、友人はますます大きく見えるようになります。それは、視覚サークル内でそれらが占める割合が増加しているためです。
友達が南極点から 10 フィート離れているとき、友達はあなたから 10 フィート離れているときと同じくらい大きく見えます。
そして、それらが南極自体に到達すると、あらゆる方向からそれらを見ることができるので、視覚的な水平線全体がそれらで満たされます。
南極に誰もいない場合、あなたの視覚的な地平線はさらに奇妙なもの、つまりあなた自身になります。なぜなら、あなたから発せられた光は、あなたに戻ってくるまで球体を一周するからです。
これは、三次元球体の生活に直接引き継がれます。 3 つの球体のすべての点には反対側の点があり、そこにオブジェクトがある場合、それが空であるかのように、背景全体として表示されます。そこに何もなければ、私たちは代わりに自分自身を背景として見ることになります。あたかも私たちの外側が風船の上に重ねられ、裏返しになって地平線全体になるように膨らんだかのようになります。
3 つの球体は球面幾何学の基本モデルですが、そのような空間はそれだけではありません。ユークリッド空間から塊を切り出し、それを貼り合わせることでさまざまな平面空間を構築したのと同じように、3 つの球体の適切な塊を貼り合わせることで球状の空間を構築できます。これらの接着された各形状には、トーラスと同様に鏡のホール効果がありますが、これらの球形の形状では、通過できる部屋の数は有限です。
私たちの宇宙は球形ですか?
私たちの中で最もナルシストな人でも、自分自身が夜空全体の背景であるとは考えていません。しかし、平面トーラスの場合と同様、現象が見えないからといって、それが存在できないというわけではありません。球状の宇宙の円周は観測可能な宇宙のサイズよりも大きく、背景が遠すぎて見えなくなる可能性があります。
しかし、トーラスとは異なり、球形の宇宙は純粋に局所的な測定によって検出できます。球形は、大域的なトポロジーだけでなく、きめの細かい幾何学的形状においても無限ユークリッド空間とは異なります。たとえば、球面幾何学の直線は大円であるため、三角形はユークリッドの対応するものよりも膨らみ、角度の合計は 180 度を超えます。
実際、宇宙の三角形の測定は、宇宙学者が宇宙が曲がっているかどうかをテストする主な方法です。宇宙マイクロ波背景放射のホットスポットまたはコールドスポットごとに、その直径と地球からの距離がわかっており、三角形の 3 つの辺が形成されます。夜空に点が収まる角度、つまり三角形の 3 つの角度の 1 つを測定できます。次に、辺の長さと角度の測定値の組み合わせが、平面、球面、または双曲幾何学 (三角形の角度の合計が 180 度未満になる) に適切であるかどうかを確認できます。
このような実験のほとんどは、他の曲率測定と合わせて、宇宙が平坦であるか、平坦に非常に近いことを示唆しています。しかし、ある研究チームは最近、プランク宇宙望遠鏡が 2018 年に公開した特定のデータは球形の宇宙を指し示していると主張しましたが、他の研究者はこの証拠は統計上のまぐれである可能性が高いと反論しました。
双曲幾何学
それ自体が内側に曲がる球とは異なり、双曲幾何学は外側に開きます。それはフロッピーハット、サンゴ礁、サドルの幾何学模様です。双曲幾何学の基本モデルは、平坦なユークリッド空間と同様に、無限の広がりです。しかし、双曲幾何学は平面幾何学よりもはるかに速く外側に拡張するため、その幾何学を歪めようとしない限り、二次元の双曲面さえも通常のユークリッド空間内に収める方法はありません。たとえば、ここにあるのは、ポアンカレ円板として知られる双曲面の歪んだ図です。
私たちの観点からは、境界円近くの三角形は中心近くの三角形よりもはるかに小さく見えますが、双曲幾何学の観点からは、すべての三角形は同じサイズです。実際に三角形を同じサイズにしようとすると、おそらく円盤に伸縮性のある素材を使用し、中心から外側に向かって各三角形を順番に膨らませます。円盤はフロッピーハットのようになり始め、外側に向かうにつれてますます座屈してしまいます。境界に近づくにつれて、この座屈は制御不能になるでしょう。
双曲幾何学の観点から見ると、そこに到達するには無限に多くの三角形を横切らなければならないため、境界円は内部の点から無限に遠くなります。したがって、双曲面はユークリッド面と同様に、あらゆる方向に無限に広がります。しかし、局所幾何学的観点から見ると、双曲面での生活は私たちが慣れ親しんでいるものとは大きく異なります。
通常のユークリッド幾何学では、円の円周はその半径に直接比例しますが、双曲幾何学では、円周は半径に比べて指数関数的に増加します。双曲円盤の境界近くの三角形の塊に指数関数的な積み重なりが見られます。
この特徴のため、数学者は双曲空間では迷子になりやすいと言います。通常のユークリッド空間で友達があなたから離れていくと、あなたの視覚圏がそれほど速く成長していないため、ゆっくりではありますが、友人は小さく見え始めます。しかし、双曲空間では、視覚円が指数関数的に拡大するため、友人はすぐに指数関数的に小さな点に縮小して見えるでしょう。友達のルートを注意深く追跡していないと、後で友達にたどり着くのはほぼ不可能になります。
また、双曲幾何学では、三角形の角度の合計は 180 度未満になります。たとえば、ポアンカレ円板のタイリング内の三角形の角度の合計は 165 度になります。
これらの三角形の辺は真っ直ぐに見えませんが、それは、歪んだレンズを通して双曲幾何学を見ているためです。ポアンカレ円盤の住人にとって、これらの曲線は直線です。なぜなら、点 A から点 B に到達する最も早い方法は、中心に向かってショートカットすることだからです。
ポアンカレ円盤に似た 3 次元を作成する自然な方法があります。単純に 3 次元のボールを作成し、ポアンカレ円盤の三角形のように、境界球に近づくにつれて小さくなる 3 次元の形状でその球を埋めるだけです。また、平面や球面の幾何学と同様に、3 次元の双曲球の適切な部分を切り出し、その面を貼り合わせることで、他のさまざまな 3 次元の双曲空間を作成できます。
私たちの宇宙は双曲的ですか?
狭い三角形と指数関数的に成長する円を含む双曲幾何学は、私たちの周囲の空間の幾何学に適合しているようには感じられません。そして実際、すでに見たように、これまでのところほとんどの宇宙論的測定は平らな宇宙を支持しているようです。
しかし、これらの世界の小さな部分はほぼ平らに見えるため、私たちが球状または双曲状の世界のどちらかに住んでいる可能性を排除することはできません。たとえば、球面幾何学の小さな三角形の角度の合計は 180 度よりわずかに大きく、双曲幾何学の小さな三角形の角度の合計は 180 度よりわずかに小さくなります。
だからこそ、初期の人々は地球が平らだと考えていました。彼らが観察できるスケールでは、地球の曲率は検出できないほど小さかったのです。球形または双曲面の形状が大きいほど、その各小片はより平坦になるため、もし私たちの宇宙が非常に大きな球面または双曲面の形状である場合、私たちが観察できる部分は非常に平坦に近く、その曲率はまだ発明されていない超高精度の機器でしか検出できない可能性があります。
