パイプシステムの圧力損失を理解する:ダルシー摩擦係数

配管内の圧力損失は、流体の内部摩擦（粘度）や流体と壁との摩擦によって発生します。圧力損失はコンポーネントでも発生します。

はじめに

流体がパイプ内を流れるとき、必然的にエネルギー損失が発生します。一方で、これはパイプ壁と流体の間に発生する摩擦 (壁摩擦) によるものです。 ）。一方で、流体の粘性により流体内でも摩擦効果が発生します（内部摩擦）。 ）。流体の流れが速いほど、内部摩擦効果は大きくなります (ポアズイユ流れに関する記事も参照してください)。

さらに流量損失は、流体の乱流、特に継手部分で発生し、流れの障害物として機能します。これらの乱流には運動エネルギーが含まれていますが、巨視的な観点から見ると、それらはパイプラインを通って輸送されず、いわばその場に留まります。

ベンチュリ効果の記事では、 圧力は体積固有のエネルギーとしても理解できることがすでに詳細に示されています。 。この文脈において、圧力は流体に単位体積当たりどれだけのエネルギーが含まれるかを示します。したがって、圧力がエネルギーを意味する場合、エネルギーの損失は必然的に圧力の損失を意味します。したがって、上記の摩擦と流れの影響には、対応する圧力損失 (圧力降下) が伴います。

圧力損失とは基本的には静圧の損失（または全圧の損失）を指します。動的圧力と静水圧は、エネルギー損失の影響を受けません。これらは流れの影響にすぎず、原因ではないからです。静水圧と動圧はパイプラインの形状によって事前に決定されます。さらに圧力損失が個々のコンポーネントで発生します。バルブ、エルボ、または測定機器。

パイプライン内の (静的) 圧力損失は、流体がパイプ システムを流れるときに必然的に発生する機械エネルギーの損失に関連しています。

以下では、液体やゆっくり流れる気体などの非圧縮性の流れのみを考慮します。

流れが層流か乱流かに関係なく、パイプラインを通る圧力損失または圧力降下は、無次元の類似性パラメーターによって記述されます。このいわゆるダーシー摩擦係数です。 f は基本的に、圧力損失 Δpl (エネルギー損失) と流れに含まれる運動エネルギーの関係を動圧 Δpdyn の形で表します。さらに、パイプ内径 d とパイプ長さ L の比率を考慮する必要があります。

\begin{整列}
&f:=\frac{\Delta p_\text{l}}{p_\text{dyn}} \cdot \frac{d}{L}~~~\text{where}~~~ p_\text{dyn}=\tfrac{1}{2}\rho ~\bar v^2 ~~~\text{:} \\[5px]
\label{ラムダ}
&\boxed{f=\frac{\Delta p_\text{l}}{\tfrac{1}{2}\rho ~\bar v^2} \cdot \frac{d}{L}} ~~~\text{ダーシー摩擦係数 (抵抗係数)} \\[5px]
\end{整列}

この式において、d はパイプの内径を示し、L は圧力降下がΔpl になる直管部分の長さを示します。 ダーシー摩擦係数 は抵抗係数とも呼ばれます。 または摩擦係数だけ .

流速とは、パイプ内の流体の平均流速を指します。乱流と層流の両方において、パイプ断面全体に均一な速度分布はなく、典型的な速度プロファイルがあることに注意してください (ポアズイユ流を参照)。

Darcy 摩擦係数 (抵抗係数) は、直管セクションの圧力損失を表す無次元の類似パラメータです。

摩擦係数を類似パラメータとして定義することにより、後続の配管システムの縮小モデル スケールで摩擦係数を決定できます。これを実際のスケールに適用すると、実際のパイプラインの圧力損失を決定できます。

\begin{整列}
\label{def}
&\boxed{\Delta p_\text{l} =f \cdot \frac{1}{2}\rho ~\bar v^2 \cdot \frac{L}{ d}} ~~~\text{直管部の圧力損失} \\[5px]
\end{整列}

後で示すように、摩擦係数はパイプの形状に基づいて数学的に計算することもできます。

この式は直管セクションにのみ適用されることに注意してください。パイプのエルボでは、通常、流れの向きの変更によりさらなる損失が発生し、圧力損失が発生します。これらのコンポーネントに依存する圧力損失 (個々の抵抗) は微小損失係数によって個別に考慮されます。 ゼータ。これについては後ほど詳しく説明します。

実際には、多くの場合、特定の流速は必要ではなく、特定の体積流量が必要です。平均流速 v は、パイプ A の断面積によって体積流量 V* に関連付けられます。

\begin{整列}
&\boxed{\dot V =\bar v \cdot A} ~~~\text{where}~A=\frac{\pi}{4}d^2~~~\text{:} \\[5px]
&\dot V =\bar v \cdot \frac{\pi}{4}~d^2 \\[5px]
\label{巻}
&\underline{\bar v =\frac{4\dot V}{\pi ~d^2}} \\[5px]
\end{整列}

方程式 の場合 (\ref{vol}) を式 (\ref{def}) で使用すると、最終的に特定の体積流量における圧力損失の次の式が得られます。

\begin{整列}
&\Delta p_\text{l} =f \cdot \frac{1}{2}\rho ~\left( \frac{4\dot V}{\pi ~d^2}\right)^2 \cdot \frac{L}{ d}\\[5px]
\label{ボリューム}
&\boxed{\Delta p_\text{l} =f \cdot \frac{8\rho~L}{\pi^2} \cdot \frac{\dot{V}^2}{d^5}} ~~~\text{直管部の圧力損失} \\[5px]
\end{整列}

直径は明らかに圧力損失の５乗に影響を与えるため、決定的な影響を及ぼします。一般に、直径が大きいほど圧力損失は低くなります。ただし、摩擦係数 f は流速に依存することに注意してください。流速は体積流量、つまりパイプの直径に依存します。したがって、これらの変数は通常、相互に影響します。

層流の圧力損失

流体の内部摩擦による粘度から生じる圧力損失 (「靭性」) は、ハーゲン ポアズイユ方程式に関する記事で層流についてすでに詳細に導出されています。

\begin{整列}
\label{ラム}
&\boxed{\Delta p_\text{l,lam} =\frac{32~\eta ~ L}{d^2} \cdot \bar v} ~~~\text{粘性による圧力損失} \\[5px]
\label{lam2}
&\boxed{\Delta p_\text{l,lam} =\frac{128~\eta ~ L}{\pi d^4} \cdot \dot V} \\[5px]
\end{整列}

この式の Δpl,lam は、動粘度 η の流体が平均速度 v または体積流量 V* でパイプ内を層流流れるときの、内径 d と長さ L のパイプ部分に沿った圧力降下を示します。

流体をパイプ内に圧送する場合、流体の常に存在する粘度によって必然的に発生する圧力損失を補償する必要があります。したがって、圧力損失は、流体の流れを維持するためにポンプがどのような場合でも生成しなければならない圧力に相当します。

層流パイプ流のダルシー摩擦係数 flam は、方程式 (\ref{lambda}) の式 (\ref{lam}) を使用して決定できます。

\begin{整列}
\require{キャンセル}
f_\text{lam} &=\frac{\Delta p_\text{l,lam}}{\tfrac{1}{2}\rho ~\bar v^2} \cdot \frac{d}{L}\\[5px]
&=\frac{\frac{32~\eta ~ L}{d^2} \cdot \bar v}{\tfrac{1}{2}\rho ~\bar v^2} \cdot \frac{d}{L}\\[5px]
&=\frac{2 \cdot 32~\eta ~ \cancel{L}~\cancel{\bar v}}{d^{\cancel{2}}~\rho ~\bar v^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{d}}{\cancel{L}}\\[5px]
&=\frac{64~\eta}{d~\rho ~\bar v}\\[5px]
&=\dfrac{64}{\color{red}{\dfrac{d \rho ~\bar v}{\eta}}}~~~\text{mit}~~~\color{red}{Re=\frac{d~\rho~\bar v}{\eta}}\\[5px]
\end{整列}

\begin{整列}
\ラベル{a}
&\boxed{f_\text{lam}=\dfrac{64}{Re}} ~~~\text{層流のダーシー摩擦係数}\\[5px]
\end{整列}

層流の場合、摩擦係数はレイノルズ数のみに依存します。レイノルズ数が大きいほど、摩擦係数は低くなります。

なお、流速が大きくなる（レイノルズ数が大きくなる）と摩擦係数は小さくなりますが、圧力損失が小さくなるわけではありません。式(\ref{def})より、圧力損失は流速の2乗で増加します。したがって、圧力損失は流速に比例して増加します。式 (\ref{lam}) を参照してください。

摩擦は流体自体の内部に存在するだけでなく、流体とパイプ壁の間でも一般に摩擦効果が発生することはすでに述べました。ただし、どうせ流体が壁に付着するので滑らない状態です。 ）および層状層が壁の粗さを覆い、これは圧力損失に追加の影響を与えません。したがって、全圧力損失は層流の式 (\ref{a}) によってのみ与えられます。乱流の場合は状況が異なります。これについては、次のセクションで詳しく説明します。

乱流の圧力損失

流れの乱流とは、渦がたくさんあることを意味します。これらには運動エネルギーが含まれていますが、このエネルギーは実際には輸送されません。下流では、このエネルギーはいわば行き場が見つからず、したがって技術的な意味で失われます。したがって、流体の粘度によって生じる内部摩擦による圧力損失に加えて、乱流による追加の圧力損失が発生します。したがって、圧力損失は層流よりも乱流の方が大きくなります。

粘性サブレイヤー

乱流では、管壁の粗さが摩擦係数に大きな影響を与えます。この目的のために、粗いパイプ壁上の流体の状況を詳しく観察します。まず、 乱流の中でも滑りにくい状態のため、壁に直接ある流体粒子は壁に付着します。 。ただし、横流は壁によって妨げられる (流体は壁を通って流れることができない) ため、壁のすぐ近くでは乱流が発生することはありません。このため、 いわゆる層状サブレイヤー 粘性サブレイヤーとも呼ばれ、壁に直接形成されます。

この粘性のあるサブレイヤーの厚さと粗さの大きさに応じて、サブレイヤーは壁の粗さを多かれ少なかれカバーします。粗さが大きすぎると、流れに非常に強い影響を与え、乱流の増加につながります。これらにより、比較的大きな圧力損失が発生します。一方、粘性下層から突き出た表面粗さが比較的小さい場合、乱流、ひいては圧力損失が小さくなります。一方、表面粗さが粘性下層で完全に覆われている場合、流れの乱流による圧力損失は最も低くなります。この場合、油圧的に滑らかなパイプについても話します。 .

粘性のある下層が表面の粗さを完全に覆っている場合、パイプは水圧的に滑らかであるとみなされます。この場合、圧力損失は最も低くなります。

相対粗さ

表面の粗さは粗さパラメータで示されます。 ｋ（Ｒｚとも表される）。この粗さパラメータは、粗い表面の最低点と最高点の間の高さを表し、複数のセクションの平均値を表します。

ただし、パイプ壁の粗さの絶対的な尺度としてのこの粗さパラメータは、乱流への影響を特徴付けるのには適していません。粗さは、常に流れ断面全体、つまりパイプの内径との関係で考慮する必要があります。絶対粗さ k とパイプ直径 d の比は相対粗さとも呼ばれます。 ε:

\begin{整列}
\label{e}
&\boxed{\varepsilon=\frac{k}{d}} ~~~\text{相対粗さ}\\[5px]
\end{整列}

相対粗さは、パイプの総直径のうち粗さが占める割合を示します。

暗黙的なコールブルック-ホワイト方程式

科学者のコールブルックとホワイトは、実験結果を使用して、乱流パイプ流のダーシー摩擦係数 ftur を決定するための次の暗黙の関数を導き出しました。

\begin{整列}
\label{CW}
&\boxed{\color{red}{\frac{1}{\sqrt{f_\text{tur}}}}=-2\cdot \log_\text{10}\left(\frac{2.51}{Re} \cdot \color{red}{\frac{1}{\sqrt{f_\text{tur}}}} +\frac{\varepsilon}{3.71}\right)} ~~~\text{コールブルック-ホワイトの方程式} \\[5px]
\end{整列}

「陰的」という用語は、この方程式を摩擦係数に対して直接解くことができないことを意味します。むしろ、流れのレイノルズ数 Re とパイプ壁の相対粗さ ε が与えられた場合、この式を満たす摩擦係数を見つける必要があります。この場合、見つかった摩擦係数は検索された値に対応します。次のセクションでは明示的なハーランド方程式を説明します。 、この方程式の反復解法について詳しく説明します。いわゆるムーディ チャートを使用すると、摩擦係数をグラフで決定することもできます。

水圧的に滑らかなパイプの場合、粘性のある下層が壁の粗さをカバーします。この場合、実際に得られる値に関係なく、Colebrook-White 方程式の相対粗さ ε を 0 に設定する必要があります。

\begin{整列}
&\boxed{\color{red}{\frac{1}{\sqrt{f_\text{tur}}}}=-2\cdot \log_\text{10}\left(\frac{2.51}{Re} \cdot \color{red}{\frac{1}{\sqrt{f_\text{tur}}}} \right)} ~~~\text{油圧的に滑らかなパイプ用} \\[5px]
\end{整列}

パイプ壁の表面粗さが粘性下層から完全に突き出ている場合、摩擦係数はほぼもっぱら壁粗さによって決まり、レイノルズ数には依存しません。科学者ニクラゼ このような水力学的に粗いパイプに対して次の明示的な方程式を導き出しました。 パイプの摩擦係数を決定するには:

\begin{整列}
&\boxed{\color{red}{\frac{1}{\sqrt{f_\text{tur}}}}=-2\cdot \log_\text{10}\left(\frac{\varepsilon}{3.71} \right)} ~~~\text{油圧的に粗いパイプ用} \\[5px]
&f_\text{tur}=\frac{1}{\left[2\cdot \log_\text{10}\left(\frac{3.71}{\varepsilon} \right)\right]^2} \\[5px]
\end{整列}

明示的なハーランド方程式

コールブルック・ホワイト方程式 (\ref{cw}) がこのやや奇妙な形で与えられるのには理由があります。これにより反復手順が可能になり、 摩擦係数を開始値から決定できるようになります。 1/√ftur,0.開始値は、Haaland によって提案された明示的な方程式によって決定できます。 :

\begin{整列}
&\boxed{\color{red}{\frac{1}{\sqrt{f_\text{tur,0}}}}=-1.8\cdot \log_\text{10}\left(\frac{6.9}{Re} +\left(\frac{\varepsilon}{3,7}\right)^{1.11}\right)} ~~~\text{ハーランド方程式} \\[5px]
\end{整列}

Haaland 方程式で明示的に決定された値 1/√ftur,0 を、Colebrook-White 方程式の右辺で使用できるようになりました。これにより、方程式の左辺に従って、新しい値 1/√ftur,1 が得られます。この値は、方程式の右側で再度使用できます。 2 回のパス後に得られる値 1/√ftur,2 は、通常、検索された値 1/√ftur に十分な精度で一致します。最後に、パイプの摩擦係数 ftur を決定できます。

Haaland 方程式の代わりに、値 1/√ftur,0=7.5} を開始値として使用できます。これは、水圧的に滑らかなパイプ (ε=0) およびレイノルズ数 105 のハーランド方程式の結果に対応します。

電力損失

パイプライン内の圧力損失は、適切なポンプの動力によって補償する必要があります。圧力損失 Δpl による動力損失 Pl は、体積流量 V* に依存します。

\begin{整列}
\label{v}
&P_\text{l} =\Delta p_\text{l} \cdot \dot V \\[5px]
\end{整列}

式 (\ref{volu}) による圧力損失 Δpl を式 (\ref{v}) に代入すると、次の式が得られます。

\begin{整列}
\label{dr}
&\boxed{P_\text{l} =f \cdot \frac{8\rho~L}{\pi^2} \cdot \frac{\dot{V}^3}{d^5}} ~~~\text{一般に適用}\\[5px]
\end{整列}

この時点で、摩擦係数 f はレイノルズ数に依存し、したがって流速に依存することに再度注意する必要があります。流速は、体積流量とパイプの直径によって決まります。

層流の場合のみ、式 (\ref{a}) に従ってレイノルズ数と摩擦係数の間に明示的な関係があります。この場合、層流の圧力損失は、式 (\ref{lam2}) に従って、動力損失 (\ref{v}) の式に直接代入できます。層流パイプ流の場合、次の関係が適用されます。

\begin{整列}
&P_\text{l,lam} =\Delta p_\text{l,lam} \cdot \dot V \\[5px]
&\boxed{P_\text{l,lam} =\frac{128~\eta ~ L}{\pi} \cdot \frac{\dot{V}^2}{d^4}} ~~~\text{層流にのみ適用されます}\\[5px]
\end{整列}

個々のコンポーネントによる圧力損失 (微小損失係数)

パイプ システムは通常、単一の直管で構成されません。パイプ システムは通常、いくつかのエルボ、分岐、レデューサー、バルブなどで構成されます。これらの個々のコンポーネントもエネルギー損失を引き起こし、したがって圧力損失も引き起こします。

これらの圧力損失はそれぞれ微小損失係数によって表されます。 ゼータ。微小損失係数は、ダルシー摩擦係数と同様に、コンポーネント内の圧力損失 Δpl と流れ pdyn の動圧の比として定義されます。

\begin{整列}
&\zeta:=\frac{\Delta p_\text{l}}{p_\text{dyn}} ~~~\text{where}~~~ p_\text{dyn}=\tfrac{1}{2}\rho ~\bar v^2 ~~~\text{:} \\[5px]
\label{ゼータ}
&\boxed{\zeta=\frac{\Delta p_\text{l}}{\tfrac{1}{2}\rho ~\bar v^2} } ~~~\text{微小損失係数} \\[5px]
\end{整列}

流体が流れる物体の微小損失係数の意味は、最終的には流れが通過する物体の抗力係数と同じです。

微小損失係数は、個々のコンポーネント (エルボ、バルブ、減速機など) の圧力損失を表す無次元の類似性パラメーターです。

さまざまなコンポーネントの微小損失係数は通常、実験的に決定され、表に記載されています。微小損失係数がわかっている場合は、コンポーネントを通る圧力損失を次のように決定できます。

\begin{整列}
\label{デズ}
&\boxed{\Delta p_\text{l} =\zeta \cdot \frac{1}{2}\rho ~\bar v^2 } ~~~\text{個々のコンポーネントの圧力損失} \\[5px]
\end{整列}

流速は基本的に、コンポーネント内の流速ではなく、実際のコンポーネントの前の流体の速度を指します。たとえば、バルブは流れの断面積を小さくするため、コンポーネント内の流速が増加します。ただし、圧力損失の基準となる流速はパイプライン内の流速を指します。

最終的には、直管セクションに対して小さな損失係数を定義することもできます。このように、直管セクションも単一のコンポーネントとみなすことができます。この場合、マイナー損失係数は、ダルシー摩擦係数 f、パイプ セクションの長さ L、およびパイプの内径 d に次のように関係します。

\begin{整列}
&\boxed{\zeta_\text{p} =\frac{L}{d} f}~~~\text{直管部の微小損失係数} \\[5px]
\end{整列}

逆に、 いわゆる等価パイプ長です。 Le は個々のコンポーネントに対して指定できます。これらのコンポーネントは、追加のパイプ セクションとして想像できます。以下の式で、ダルシー摩擦係数 f は実際のパイプの摩擦係数に対応します。

\begin{整列}
&\boxed{L_\text{e}=\frac{d \cdot \zeta}{f}}~~~\text{コンポーネントの等価パイプ長さ} \\[5px]
\end{整列}

パイプ直径 d =1 cm、微小損失係数 ζ=1、摩擦係数 f =0.02 の場合、等価パイプ長はわずか 0.5 m になります。したがって、配管システムが非常に長く、個々のコンポーネントがほとんどない場合 (これはよくあることです)、設置されたコンポーネントによる圧力損失は通常無視できます。このため、個々のコンポーネントの抵抗係数はマイナーと呼ばれます。 損失係数。ただし、注意:場合によっては、特に短い配管システムの場合、小さな損失係数が多大な影響を与える可能性があります。

したがって、一般に、次のことが適用されます。個々の直管セクションを通る圧力損失 Δpl.p の合計と、個々のコンポーネントを通る圧力損失 Δpl,c の合計は、パイプ システム全体の合計圧力損失 Δpl,total となります。

\begin{整列}
&\boxed{\Delta p_\text{l,total} =\sum \Delta p_\text{l,p} +\sum \Delta p_\text{l,c} } \\[5px]
\end{整列}

全長 L で内径 d が一定、つまり平均流速 v が一定のパイプラインが 1 つだけある場合、次の式が適用されます。

\begin{整列}
&\boxed{\Delta p_\text{l,total} =\left(f \frac{L}{d} + \sum \zeta \right) \frac{1}{2}\rho~\bar{v}^2} \\[5px]
\end{整列}