ベルヌーイの方程式:流体力学の演習と解決策

この記事では、ベルヌーイ方程式に基づく解を用いた演習が提供されます。

ベルヌーイ方程式は、流れる流体のエネルギー保存に基づいています。この方程式の導出については、「ベルヌーイ方程式の導出」の記事で詳しく説明されています。液体などの非粘性および非圧縮性流体の場合、この方程式は、流線に沿った静圧 p、動圧 1/2⋅ϱ⋅v2、および静水圧 ϱ⋅ の合計が一定であることを示します。

\begin{整列}
&\boxed{p + \frac{1}{2} \rho ~v^2 +\rho g h=\text{konstant}} ~~~\text{ベルヌーイ方程式}\\[5px]
\end{整列}

したがって、流線上の 2 つの状態は次の方程式によって関連付けられます。

\begin{整列}
&\boxed{p_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 +\rho g h_1=p_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2} \\[5px]
\end{整列}

以下では、ベルヌーイ方程式を適用するためのさまざまな演習を示します。

断面がくびれたパイプを通る水平方向の流れ

密度 1 g/cm3 の水が水平パイプを流れます。パイプの断面は、レデューサーで 80 cm² から 40 cm² に先細になります。減速機前の静圧は 4 bar、流速は 4 m/s です。流れは非圧縮性で摩擦がありません (非粘性)。減速機の後に測定される静圧はどれくらいですか?

この質問に答えるために、流線と、レデューサーの前とレデューサーの後の点を調べます。次の状態変数が知られています:

パイプが水平方向にあるため、考慮される両方の点が同じレベル (h1 =h2) にあることに注意してください。したがって、ベルヌーイ方程式は、静水圧が互いに打ち消し合うという点で単純化されます。したがって、静圧 p2 については、次の式が得られます。

\begin{整列}
\require{キャンセル}
&p_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \cancel{\rho g h_1}=p_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \cancel{\rho g h_2}\\[5px]
&p_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 =p_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 \\[5px]
\label{p2}
&\underline{p_2 =p_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 -\frac{1}{2} \rho v_2^2} \\[5px]
\end{整列}

静圧を計算するには、やはり収縮後の流速が必要です。これは質量保存条件から得られます。時間 Δt 内に、流体は減速機の前を速度 v1 で流れ、距離 Δs1=v1⋅Δt をカバーします。したがって、次の流体体積が断面 A1 を通過します。

\begin{整列}
\ラベル{1}
&\Delta V =A_1 \cdot \Delta s_1 =A_1 \cdot v_1 \cdot \Delta t \\[5px]
\end{整列}

水の質量保存と非圧縮性により、同じ体積 ΔV が同じ時間 Δt 内に断面 A2 を通って押し出されなければなりません。断面積が小さいため、流体体積の距離 Δs2 は大きくなければなりません。これにより、流速 v2 が高くなることが説明されます。

\begin{整列}
\ラベル{2}
&\Delta V =A_2 \cdot \Delta s_2 =A_2 \cdot v_2 \cdot \Delta t \\[5px]
\end{整列}

式 (\ref{1}) と (\ref{2}) を等式化し、結果として得られる v2 の方程式を解くと、最終的に減速機後の流速が得られます。

\begin{整列}
\require{キャンセル}
&A_2 \cdot v_2 \cdot \cancel{\Delta t} =A_1 \cdot v_1 \cdot \cancel{\Delta t} \\[5px]
&\boxed{v_2 =\frac{A_1}{A_2} \cdot v_1} =\frac{80~ \text{m²}}{40 ~\text{m²}} \cdot 4 \frac{\text{m}}{\text{s}} =\underline{\underline{8 \frac{\text{m}}{\text{s}}}} \\[5px]
\end{整列}

断面が半分のサイズに縮小されるため、流速は2倍になります。すべての既知の値を方程式 (\ref{p2}) に入れることができます。圧力は基本単位 N/m2 で使用され、密度は kg/m3 単位で使用されることに注意してください。

\begin{整列}
&p_2 =p_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 -\frac{1}{2} \rho v_2^2 \\[5px]
&p_2 =4 \cdot 10^5 \tfrac{\text{N}}{\text{m²}} + \frac{1}{2} 1000 \tfrac{\text{kg}}{\text{m³}} ~\left(4 \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \right)^2 – \frac{1}{2} 1000 \tfrac{\text{kg}}{\text{m³}} ~\left(8 \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \right)^2 =3.76 \cdot 10^5 \tfrac{\text{N}}{\text{m²}} \\[5px]
&\underline{\underline{p_2 =3.76 ~\text{bar}}}\\[5px]
\end{整列}

したがって、流速の増加により、静圧が 4.00 bar から 3.76 bar に低下します。これは、静圧に関連するエネルギーの一部を水を加速するために使用する必要があるという事実によって説明できます。水の運動エネルギーの増加には、静圧が犠牲になります。この現象の詳細については、「ベンチュリ効果」の記事を参照してください。

ノズル付きの水道ホースに水を流す

内部断面積 1.24 cm² のホースが水道の蛇口に接続されています。ホースは地上6メートルの高さまで伸びており、ノズルから水が流れ出てプールに集められます。プールは毎分 30 リットルで満たされます。地上 1 メートルのホースに圧力計を取り付けて静圧を測定します。ゲージは 2 bar の圧力を示します。周囲気圧は 1 bar です。流れは非圧縮性で非粘性です。水はどのくらいの速度でノズルから出ますか?

この質問に答えるために、圧力計からノズルの出口につながる流線を考えます。この場合、ベルヌーイ方程式の重力位置エネルギー (静水圧) の項を考慮する必要があります。次の変数が指定されます:

測定点での流速 v1 は、プールを満たす体積流量によって決定できます。流体の非圧縮性により、圧力計の流量はノズルから出てプールを満たす流量と同じでなければなりません。流速 v1 では、次の体積 ΔV が時間 Δt 以内にホース断面 A1 を通過します。

\begin{整列}
&\デルタ V =A_1 \cdot v_1 \cdot \デルタ t\\[5px]
\end{整列}

したがって、体積流量 V* (=単位時間あたりの体積) には、体積 ΔV と継続時間 Δt の商が適用されます。

\begin{整列}
&\dot V =\frac{\Delta V}{\Delta t} =A_1 \cdot v_1 \\[5px]
\end{整列}

流速についてこの方程式を解くと、v1 の値は約 4.03 m/s になります。体積流量は m3/s 単位で指定する必要があることに注意してください。

\begin{整列}
&v_1 =\frac{\dot V}{A_1} =\frac{5 \cdot 10^{-4} ~ \tfrac{\text{m³}}{\text{s}}}{1.24\cdot 10^{-4} ~\text{m²}}=\underline{\underline{4.03 \frac{\text{m}}{\text{s}}}} \\[5px]
\end{整列}

ノズル出口の静圧 p2 はどうなるでしょうか?水は妨げられることなく大気中に流れるため、ウォータージェットに圧力をかけるのは周囲の空気だけです。したがって、周囲圧力により、ノズルから流出するウォーター ジェットに静圧がかかります。

\begin{整列}
&p_2 =\underline{\underline{1~ \text{bar}}} \\[5px]
\end{整列}

必要な量がすべてわかったので、それらをベルヌーイ方程式に入れて流速 v2 を求めることができます。

\begin{整列}
&p_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 +\rho g h_1=p_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2 \\[5px]
&v_2 =\sqrt{\frac{2~(p_1-p_2)}{\rho} + 2g (h_1-h_2) + v_1^2} =\underline{\underline{10.87 \frac{\text{m}}{\text{s}}}} \\[5px]
\end{整列}

したがって、水は 10.87 m/s の速度でノズルから出ます。

トリチェリの法則

オープン水槽の側面に水栓が付いています。ホースの一端が蛇口に接続されています。もう一方の端には、可変断面のノズルが取り付けられています。タンクが非常に大きいため、ノズルから水が出ている間は水位が（ほとんど）変わりません。流れは非圧縮性で非粘性です。水面がノズル開口部から h の高さにあるとき、水はノズルからどのくらいの速度で出ますか?

この問題を解決するために、水面からノズルの出口に至る流線を考えます。静水圧を計算する高さの基準レベルはノズルの高さに設定されます。したがって、次の変数がわかります。

ノズルから水が出ても水位はあまり変化しませんのでご注意ください。したがって、水面における流体粒子の沈下速度または流速はほぼゼロ（v1≒0）となります。さらに、水面の静圧は水面にかかる圧力であるため、周囲の圧力pambに相当します。周囲圧力は、ノズルから出るウォーター ジェットにも影響します。ベルヌーイ方程式の静圧は互いに打ち消し合うため、問題を解決するために周囲圧力の正確な値は必要ありません。

\begin{整列}
\require{キャンセル}
&p_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 +\rho g h_1=p_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2 \\[5px]
&\cancel{p_\text{amb} }+ \frac{1}{2} \rho \underbrace{v_1^2}_{=0} + \rho g\underbrace{h_1}_{=h}=\cancel{p_\text{amb}} + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g \underbrace{h_2}_{=0} \\[5px]
&\cancel{\rho} g h=\frac{1}{2} \cancel{\rho} v_2^2 \\[5px]
\label{オーストラリア}
&\boxed{v_2=\sqrt{2gh}} \\[5px]
\end{整列}

この結果は 2 つの点で注目に値します。まず、明らかに、吐出速度に関係するのはノズル上の水位の高さだけです。ノズルの断面積は影響しません。次に、 流出速度は落下速度に正確に対応していることがわかります。 vf 流体の小包が水面から落下した場合 (これはトリチェリの法則としても知られています)。質量 m の流体塊の重力位置エネルギーは、完全に運動エネルギーに変換されます。

\begin{整列}
\require{キャンセル}
&\cancel{m}~g~h=\frac{1}{2}\cancel{m}~v_\text{f}^2 \\[5px]
&\boxed{v_\text{f}=\sqrt{2gh}} ~~~\text{トリチェリの法則}\\[5px]
\end{整列}

エネルギー的な観点から、流出速度は式 (\ref{aus}) で与えられる値よりも大きくなり得ないことが明らかです。これは、この速度では、流出する流体塊はせいぜい最初の高さ、つまり水面までの高さに再び到達することができるためです。もし速度が速ければ、これはエネルギー保存則に反します。そうすれば、流体塊はより高い高さに到達する可能性があるからです。そうすれば、エネルギーを投入せずに高層のプールを埋めることが可能になります。

湖の特定の深さでの圧力

実際、ベルヌーイ方程式は流れる流体に対してのみ有効ではありません。ベルヌーイ方程式は静止流体にも適用できます。静かな深い湖を考えてみましょう。水面下の深さ h にはどのような圧力が存在しますか?

この問題を解決するために、水面から深さ h までの流線を考えます。流線は速度ベクトルの接線として定義されることに注意してください。静止している流体ではすべてのベクトルがゼロであるため、最終的には任意のパスに沿って流線を描くことができます。重力位置エネルギーの基準レベルを考慮した深さに配置します。したがって、この深さには高さ 0 が割り当てられ、水面には高さ h が割り当てられます。水面の静圧は周囲圧力pambです。したがって、次のパラメータがわかります。

ベルヌーイ方程式で使用されるこれらのパラメータにより、水圧 p2 について次の結果が得られます。

\begin{整列}
\require{キャンセル}
&\underbrace{p_1}_{p_\text{amb}} + \frac{1}{2} \rho \underbrace{v_1^2}_{=0} +\rho g \underbrace{h_1}_{=h}=p_2 + \frac{1}{2} \rho \underbrace{v_2^2}_{=0} + \rho g \underbrace{h_2}_{=0} \\[5px]
&\boxed{p_2=p_\text{amb} + \rho g h} \\[5px]
\end{整列}

予想通り、深さ h の圧力 p2 は、周囲圧力 pamb に上の水柱によって生成される (静水圧) を加えたものに相当します。