抗力係数を理解する:摩擦と圧力抗力の説明

抗力係数は、物体の周囲を流れる抗力を記述するための無次元の類似性パラメーターです。

寄生抵抗 (皮膚摩擦抵抗と圧力抵抗)

物体が流体の中を移動するとき、または流体が物体の周りを流れるとき、抗力が物体に作用します。これらには通常、次の 2 つの原因があります。

• 摩擦力 (せん断応力)
• 圧力 (法線応力)

これら 2 つのメカニズムについては、寄生抵抗に関する記事ですでに詳しく説明されています。したがって、これらのメカニズムについては、以下で簡単に要約するだけです。

一方で、 流体の粘性により体の皮膚に摩擦力が作用します。 、 いわゆる皮膚摩擦抵抗が生じます。 。ここで決定的な要因は、物体の表面に作用するせん断応力です。これらのせん断応力は壁せん断応力とも呼ばれます。 τｗ。

皮膚摩擦抵抗は、粘性によって液体と体表面の間に作用する壁せん断応力によって引き起こされます。

一方、身体はさまざまな (静的) 圧力の影響を受けます。これはエネルギー保存の結果です (ベルヌーイの定理を参照)。物体の周囲の流れが加速すると、静圧は減少します。つまり、運動エネルギーの増加により圧力エネルギーが犠牲になります。逆に、流体が減速すると、運動エネルギーが犠牲になって静圧が増加します。体の周囲に生じるさまざまな圧力も抗力につながります。これは圧力抵抗とも呼ばれます。 またはフォームドラッグ .

圧力抵抗の原因は、エネルギー保存によって身体に作用するさまざまな静圧にあります。

両方のタイプの抗力 (皮膚摩擦抗力と圧力抗力) が、肉眼で観察できる物体の抗力を形成します。この全体的な抵抗は寄生抵抗とも呼ばれます。 またはドラッグするだけです .

皮膚の摩擦抵抗と圧力抵抗の合計は寄生抵抗と呼ばれます。

摩擦抵抗、圧力抵抗、寄生抵抗はそれぞれ無次元パラメータで表現できます。これらの量は抗力係数とも呼ばれます。 。これらの係数の意味は、レイノルズ数、プラントル数、ヌッセルト数、シュミット数、ルイス数などの他の無次元類似度パラメーターと非常に似ています。

抗力係数は、システムのサイズとは無関係に流れを記述する目的を果たします。このようにして、たとえば、風洞内の車両モデルから得られた抗力に関する知識を実際の車両に移すことができます。

摩擦抵抗係数 せん断応力によって生じる摩擦抵抗の特性評価に使用されます。摩擦抵抗係数 cf は、壁せん断応力 τw を、乱されていない外部の流れ v ∞ の流速に関連付けます。流速は乱されていない流れの動圧 pdyn,∞ で表されます。両方の量の単位は同じであるため、商は無次元であることに注意してください。したがって、摩擦抵抗係数は、無次元の壁せん断応力として解釈できます。

\begin{整列}
\label{cf}
&\boxed{c_f :=\frac{\tau_w}{p_{\text{dyn},\infty}}}=\frac{\tau_w}{\tfrac{1}{2}\rho \cdot v_\infty^2} ~~~~~\text{(ローカル) 摩擦抵抗係数}\\[5px]
\end{整列}

この式において、ϱ は流体の密度を示します。せん断応力と密度の商の平方根を取ると、この商は速度の次元も持ちます。この量はせん断速度と呼ばれます。 vτ または摩擦速度 :

\begin{整列}
\label{vw}
&\boxed{v_\tau :=\sqrt{\frac{\tau_w}{\rho}}} ~~~~~\text{せん断速度}\\[5px]
\end{整列}

せん断速度は言葉の本当の意味での速度ではなく、この量が速度と同じ次元を持つため、単にそう呼ばれています。せん断速度は、抗力係数だけでなく、粘性副層の厚さにも影響します。

したがって、摩擦抵抗係数は次の式によっても求めることができます。

\begin{整列}
\label{cf2}
&\boxed{c_f =2 \left(\frac{v_\tau}{v_\infty}\right)^2} \\[5px]
\end{整列}

平板の場合、境界層の成長は壁での速度勾配の減少を伴います。これにより、壁せん断応力が減少し、摩擦が減少します。したがって、摩擦抵抗係数は決して一定の量ではなく、局所的な条件によって異なります。

プレート周囲の層流

平板と非圧縮性層流の場合、境界層方程式は、前縁からの距離 x における局所レイノルズ数とそこにおける摩擦抵抗係数 cf,lam との間に次の関係を与えます (以下の式で、ν は流体の動粘度を示します)。

\begin{整列}
&\boxed{c_\text{f,lam} =\frac{0.664}{\sqrt{Re_x}}} ~~~~~Re_x =\frac{v_\infty \cdot x}{\nu}~~~~~~~\text{(局所摩擦抵抗係数)}\\[5px]
\end{整列}

局所的な摩擦抵抗係数を積分することにより、最終的にプレート全体の全体的な摩擦抵抗係数 Cf,lam が得られます。この場合の (グローバル) レイノルズ数は、プレート L の全長を指します。

\begin{整列}
&\boxed{C_\text{f,lam} =\frac{1.328}{\sqrt{Re_L}}} ~~~~~Re_L =\frac{v_\infty \cdot L}{\nu} ~~~~~~~\text{(全体の摩擦抵抗係数)}\\[5px]
\end{整列}

Cf,lam を全体の摩擦抵抗係数として、式 (\ref{cf}) の壁せん断応力は、プレートの表面積 A 全体 (平均壁せん断応力 τw) を指します。したがって、この表面に作用する摩擦力 Ff,lam は、次の式を使用して計算できます。

\begin{整列}
&\overline{\tau}_w =\frac{F_\text{f,lam}}{A} =\frac{1}{2}\rho \cdot v_\infty^2 \cdot C_\text{f,lam} \\[5px]
&\boxed{F_\text{f,lam} =\frac{1}{2}\rho \cdot v_\infty^2 \cdot C_\text{f,lam} \cdot A} ~~\text{皿の上の流れ}\\[5px]
\end{整列}

両側に流れがあるプレートの場合、摩擦力は両側に作用するため、摩擦力は明らかに 2 倍になります。

\begin{整列}
&\boxed{F_\text{f,lam} =\rho \cdot v_\infty^2 \cdot C_\text{f,lam} \cdot A} ~~\text{皿の周りの流れ} \\[5px]
\end{整列}

プレートの周りの乱流

境界層に関する記事では、層流境界層の厚さが局所レイノルズ数の根に反比例することが示されました。

\begin{整列}
&\delta_\text{h,lam} \sim \frac{1}{\sqrt{Re_x}} \\[5px]
\end{整列}

この影響は、層流の摩擦抵抗係数に直接現れています。ただし、乱流の場合、関係は次のようになります。

\begin{整列}
&\delta_\text{h,tur} \sim \frac{1}{\sqrt[5]{Re_x}} \\[5px]
\end{整列}

したがって、乱流の摩擦抵抗係数も同様に局所レイノルズ数の影響を受けると想定できます。実際、次の関係が摩擦抵抗係数に適用されます。

\begin{整列}
&\boxed{c_\text{f,tur} =\frac{0.0577}{\sqrt[5]{Re_x}}} ~~~~~Re_x =\frac{v_\infty \cdot x}{\nu}~~~~~~~\text{(局所摩擦抵抗係数)}\\[5px]
&\boxed{C_\text{f,tur} =\frac{0.0725}{\sqrt[5]{Re_L}}} ~~~~~Re_L =\frac{v_\infty \cdot L}{\nu} ~~~~~~~\text{(全体の摩擦抵抗係数)}\\[5px]
\end{整列}

最後に、乱流中のプレートに作用する摩擦力は、次の式を使用して求めることができます。

\begin{整列}
&\boxed{F_\text{f,tur} =\frac{1}{2}\rho \cdot v_\infty^2 \cdot C_\text{f,tur} \cdot A} ~~\text{皿の上の流れ}\\[5px]
&\boxed{F_\text{f,tur} =\rho \cdot v_\infty^2 \cdot C_\text{f,tur} \cdot A} ~~\text{皿の周りの流れ}\\[5px]
\end{整列}

圧力抵抗係数

摩擦抵抗係数が無次元の壁せん断応力として定義されるのと同じように、圧力抵抗係数は無次元 (静) 圧力差 Δpstat として定義できます。

\begin{整列}
\label{cp}
&\boxed{c_p :=\frac{\Delta p_\text{stat}}{p_{\text{dyn},\infty}}} =\frac{p_\text{stat}-p_{\text{stat},\infty}}{\tfrac{1}{2}\rho \cdot v_\infty^2}~~~~~\text{(局所)圧力抵抗係数}\\[5px]
\end{整列}

この式において、pstat は、圧力抗力係数が決定される点での静圧を示します。 pstat,∞ は乱されていない外部の流れの静圧であり、pdyn,∞ は動圧です。圧力差 Δpstat は、物体の表面に作用する有効圧力であることに注意してください。

安定した非圧縮性で摩擦のない流れの場合、プレートから遠く離れた点 (乱されない流れ) と物体上の任意の点との間に次の関係が適用されます (ベルヌーイの原理を参照)。

\begin{整列}
&p_{\text{stat},\infty}+\tfrac{1}{2}\rho \cdot v_\infty^2 =p_{\text{stat}}+\tfrac{1}{2}\rho \cdot v^2\\[5px]
\end{整列}

この方程式では、v ∞ は乱されていない流れの流速を表し、v は流れが通過する物体上の任意の点での速度を表します。この式を使用すると、圧力抵抗係数を計算する次の式が得られます。

\begin{整列}
&p_{\text{stat}} – p_{\text{stat},\infty} =\tfrac{1}{2}\rho \cdot v_\infty^2 – \tfrac{1}{2}\rho \cdot v^2 \\[5px]
\label{cpi}
&\boxed{c_p =1- \left(\frac{v}{v_\infty}\right)^2} ~~~\text{摩擦のない非圧縮性の流れに適用}\\[5px]
\end{整列}

よどみ点では、流れの運動エネルギーは完全に静圧に変換されます。これにより、(乱されていない流れと比較して) 最大 (静) 圧力差が生じます。圧力差は乱されていない流れの動圧にちょうど対応し、圧力抗力係数は最大値の 1 に達します。これは式 (\ref{cpi}) からも直接わかります。流れはよどみ点 (v=0) で停止するまで減速されたため、圧力抗力係数は 1 (cp=1) です。

ただし、圧力抵抗係数はゼロにすることもできます。この場合、考慮中の点の静圧は、乱されていない流れの静圧と同じくらい高くなります。したがって、圧力差は存在しないため、圧力抵抗係数はゼロになります。これは方程式 (\ref{cpi}) からもわかります。流れが加速または減速されていない場合、局所的な流速は乱されていない流れの速度に対応し、圧力抵抗係数はゼロになります。

ただし、圧力抵抗係数は負の値をとることもあります。これは、物体に沿った流れが加速する場合 (例:空気が翼の上を流れる場合) に当てはまります。加速のためのエネルギーは静圧から得られます。したがって、局所静圧は減少します。したがって、局所点と乱されていない流れの間の静圧差は負になります。これにより、圧力抗力係数が負の値になります (これは、翼の上面の負圧とその結果生じる揚力も説明します)。これも式 (\ref{cpi}) から直接明らかです。局所的な速度が乱されていない流れの速度より大きい場合、速度の商は 1 より大きく、圧力抵抗係数は負になります。

したがって、非圧縮性および摩擦のない流れについて 3 つのケースを区別でき、特徴的な圧力抵抗係数が得られます。

圧力抵抗係数は、物体の周囲の無次元の圧力分布のみを記述することに注意してください。表面が流れにどのように向けられているかに応じて、抗力はさまざまな方向に生成されます。圧力抵抗の決定的な要因となるのは、流れと平行に向かう力の成分だけです。一般に、圧力は流れの方向に対して垂直にも存在します。たとえば翼の場合、まさにこれらの力が上向きの力を生成し、航空機に揚力を与えます。

プロファイル抗力係数 (全体の抗力係数)

すでに説明したように、粘性抵抗と圧力抵抗の合計が物体の全体的な輪郭抵抗を与えます。この関係は抗力係数にも当てはまります。摩擦抵抗係数と圧力抵抗係数の合計は、ボディのプロファイル抵抗係数 cd を与えます。

\begin{整列}
\label{ce}
&\boxed{c_d =c_f + c_p} ~~~~~\text{プロファイル抗力係数} \\[5px]
\end{整列}

プロファイル抗力係数は、単に抗力係数と呼ばれることもあります。 。この係数の関係は、次のようにして導出することもできる。壁せん断応力 τw と圧力差 Δpstat は両方とも、 形式的には単位面積あたりの力として得られます。 。これらの量を単位面積あたりの耐力で表すと、次の式が適用されます。

\begin{整列}
&c_p =\frac{\Delta p_\text{stat}}{p_{\text{dyn},\infty}} =\frac{F_p}{\frac{1}{2}\rho \cdot v_\infty^2 \cdot A} \\[5px]
&c_f =\frac{\tau_w}{p_{\text{dyn},\infty}} =\frac{F_f}{\frac{1}{2}\rho \cdot v_\infty^2 \cdot A} \\[5px]
\end{整列}

圧力抗力 Fp と摩擦抗力 Ff の合計により、最終的に全体のプロファイル抗力 Fd が得られます。

\begin{整列}
&F_p + F_f =F_d \\[5px]
\end{整列}

この式を項 1/2・ϱ・v∞2・A で割ると、左辺で圧力抵抗係数と摩擦抵抗係数の和が計算されます。方程式の右辺は、プロファイル抗力係数 cd として解釈できます。

\begin{整列}
&\underbrace{\frac{F_p}{\frac{1}{2}\rho \cdot v_\infty^2 \cdot A}}_{c_p} + \underbrace{\frac{F_f}{\frac{1}{2}\rho \cdot v_\infty^2 \cdot A}}_{c_f} =\underbrace{\frac{F_d}{\frac{1}{2}\rho \cdot v_\infty^2 \cdot A}}_{c_d} \\[5px]
\label{CW}
&\boxed{c_d:=\frac{F_d}{\frac{1}{2}\rho \cdot v_\infty^2 \cdot A}} \\[5px]
\end{整列}

すでに説明したように、流線型ボディの場合、断面抗力係数は主に摩擦抗力係数によって決まります。形状そのものだけでなく迎え角も重要です。 。非流線型ボディ ( いわゆる鈍いボディ)の場合 )、または迎え角が大きい流線型ボディの場合、圧力抵抗係数は主に断面抗力係数に影響します。

空気抵抗の実験による決定

数値的手法を使用して、物体のさまざまな点での圧力抵抗係数と皮膚摩擦抵抗係数を決定し、それらを合計して全体の抵抗係数を算出できます。ただし、ほとんどの場合、実際には物体の (全体的な) 抗力のみが関係するため、このような複雑な方法で局所抗力係数を決定する必要はありません。この抗力は、たとえば風洞実験などで比較的簡単に決定できます。流れが物体に及ぼす抗力を測定することだけが必要です。抗力と物体の表面積の商は、抗力係数に対応します (式 (\ref{cw}) を参照)。

ただし、表面積を基準として使用する場合は注意してください。どのタイプの抗力が支配的であるかに応じて、表面積は流れの方向に投影された表面、または流れに垂直な表面積を指します。自動車やオートバイの場合、圧力抗力が支配的であるため（通常、流れの剥離によってさらに増加する）、流れの方向の投影面積が抗力に決定的な影響を与えます。投影面積は、物体が流れの方向に照らされたときの壁の影の面積に対応します。

図:空気抵抗を決定するための車の投影面積

ただし、飛行機の翼の周りを流れが流れる場合、粘性抵抗が支配的になるため、投影面積の影響ははるかに小さくなります。この抗力は翼の表面積に大きく依存します。この場合の決定的な領域は、翼が上方 (流れに対して垂直) から照らされた場合の影の領域に対応します。

図:空気抵抗を決定するための飛行機の投影面積

抗力係数に対するレイノルズ数の影響

抗力係数 cd は物体の形状だけでなく、流速 v ∞、物体の (特性) 長さ L、流体の動粘度 ν にも依存します。これらの量は、いわゆるレイノルズ数 Re:

で表されます。

\begin{整列}
&Re=\frac{v_\infty \cdot L}{\nu} \\[5px]
\end{整列}

したがって、一般に、抗力係数はレイノルズ数の関数となります。

\begin{整列}
&c_d=c_d(Re) \\[5px]
\end{整列}

レイノルズ数自体は流速に依存するため、状況によっては流速と抗力の間に放物線関係が存在しないという事実が生じる可能性があります。これは、たとえば、流れが物体から分離しない、流速の遅い層流の場合に当てはまります (「境界層の分離」の記事も参照)。この場合、抗力係数 cd はレイノルズ数にほぼ反比例して減少し、それにより抗力 Fd は形式的には速度の 2 乗に応じて増加します。この場合、流速と抗力の間には線形関係があります。

\begin{整列}
&F_d \sim \frac{1}{Re} \cdot v_\infty^2 \sim v_\infty \\[5px]
\end{整列}

この線形関係は、1 未満のレイノルズ数、つまり流体の粘度が流体の慣性力よりもはるかに大きい場合に、非常に良好な近似に当てはまります。これは、流体の粘性が高く、流速が遅く、本体の寸法が小さい場合に当てはまります。このような場合のために、物理学者のジョージ ストークスは、球体の抗力を計算する公式を導き出しました (球体のストークスの摩擦の法則に関する記事を参照)。

工学において、車や飛行機の周囲の空気の流れに関して言えば、レイノルズ数は一般に 1 よりもはるかに大きくなります。このような場合、抗力係数に対するレイノルズ数の影響は非常に小さく、係数はほぼ一定であると考えることができます。

数値例 :寸法 (代表的な長さ) が 1 メートル程度の物体を考えます。この物体の周囲を空気が毎秒 1 メートル程度の速度で流れます。この場合、数万のオーダーのレイノルズ数が得られます。一方、毎秒数センチメートルの流速の水流中で数マイクロメートル程度の小さな粒子が観察された場合、0.01 程度のレイノルズ数が得られます。

したがって、この例は、レイノルズ数が大きいため、実際には抗力に対する流速の二次的な影響が非常に多くの場合想定される可能性があることを明らかにしています。

抗力に対する速度の二次影響の重要性

物体が力 F と速度 v で動かされる場合、この物体は次の機械力 P を変換します。

\begin{整列}
&P =F \cdot v \\[5px]
\end{整列}

電動車両では、この電力はエンジンによって供給されます。エンジンの力は、抗力 Fd を補償するために必要な力に正確に対応します (高速では転がり摩擦と滑り摩擦は無視できます)。したがって、抗力 (空気抵抗) を克服するには、モーターは次の電力を提供する必要があります。

\begin{整列}
&P_d =F_d \cdot v \\[5px]
\end{整列}

ただし、抗力は速度の2乗で増加するため、出力は速度の3乗で増加します。したがって、車両の速度が 2 倍になるということは、抗力を補うために必要なエンジン出力が 8 倍になることを意味します。これには、例えば、エンジン出力に直接関係する燃費に大きな影響を与えます。たとえば、速度を 140 km/h から 110 km/h に下げると、空気抵抗を補うために必要なエンジン出力が半分以下に減少します。

一般に、速度が 20% 低下すると、抗力を約 50% 補うためにエンジン出力が低下します。

選択したボディ形状のドラッグ係数

以下の表は、選択したボディの一般的な抗力係数を示しています。ボディの特徴的な表面を使用すると、流体の特定の流速と密度に対する抵抗力を次の式で決定できます。

\begin{整列}
&\boxed{F_d=\frac{1}{2}\rho \cdot v_\infty^2 \cdot A \cdot c_d } \\[5px]
\end{整列}

図:さまざまな物体の抗力係数

物体が静止している流体中を移動している場合 (例:車や飛行機が空気中を移動している場合)、流速は移動している物体の速度に対応します。したがって、流速は常に物体と流体の間の相対速度に対応します。流体としての空気の場合、 この文脈で空気抵抗についても話します。 .

オブジェクト 抗力係数 cd オートバイ0.65自動車0.35バス0.45トラック0.5人間（立っている）0.8ボール*0.42（für Re =70,000）半中空球
(凸面が流れる)0.35半中空球、「パラシュート」
(凹面が流れる)1.35翼形0.1雨滴(流線型本体)0.05円盤1.2正方形プレート0.9(無限)長い長方形プレート2.0長い細いワイヤー1.2

*)カスカスによると 、次の式を使用して、層流における球体の抗力係数を決定できます。

\begin{整列}
&\boxed{c_d =\frac{24}{Re} +\frac{4}{\sqrt{Re}}+0.4}~~Re<2\cdot 10^5 \\[5px]
\end{整列}

流速が速い場合、抗力係数は漸近的に 0.4 に近づくことに注意してください。ただし、非常に小さいレイノルズ数の場合、最後の 2 つの項は無視できるため、ストークスの法則が適用されます。

\begin{整列}
&\boxed{c_d =\frac{24}{Re}}~~Re<1 \\[5px]
\end{整列}

これは、すでに述べたように、抗力は速度に比例して増加するという事実につながります。

流れの方向は球体にとっては明らかに重要ではありませんが、半球状のカップにとっては決定的に重要です。流れがカップの開いた側面に当たる場合、抗力係数は、流れが球面に当たる場合よりもほぼ 4 倍高くなります。したがって、流れの方向に開いた側のカップに流れが及ぼす力は 4 倍大きくなります。これは、 いわゆる半球カップ風速計などで使用されます。 定義された回転感覚を生成します。回転速度は風速の尺度になります。

図:風速を測定するための半球カップ風速計