ハーゲン・ポアズイユの法則:エネルギーの考慮事項とパイプ内の流体の流れ

パイプ内の流体の放物線速度プロファイルを記述するためのハーゲン ポアズイユ方程式は、エネルギー上の理由から長いパイプにのみ適用されます。

概要

ハーゲン ポアズイユ方程式に関する記事で詳しく導出されたように、ポアズイユ フロー 典型的な放物線状の速度プロファイルを使用すると、次の方程式で説明できます。

\begin{整列}
\label{vrr}
&\boxed{v(r)=v_\text{max} \cdot \left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^2\right]} \\[5px]
\label{最大}
&\boxed{v_{\text{max}}=-\frac{R^2}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} } \\[5px]
\label{pv}
&\boxed{\frac{\text{d}p}{\text{d}x} =\frac{\Delta p}{ \Delta L}} \\[5px]
\label{損失}
&\boxed{\Delta p_l =\frac{8\eta \cdot \Delta L}{R^2} \cdot c} ~~~\text{圧力損失} \\[5px]
\label{vmax}
&\boxed{c =\frac{1}{2} \cdot v_\text{max}} \\[5px]
\end{整列}

これらの式において、ΔL はパイプ部分の長さを示し、R はパイプの内径を示します。 v(r) はパイプ軸からの距離 r における流体の速度を示し、η は流体の粘度を示します。圧力勾配 dp/dx は流れの推進力であり、単位長さあたりの圧力変化に対応します。圧力勾配は、パイプに沿った圧力変化 Δp によって決まります。平均流速 c は、パイプの中央での最大流速 vmax のちょうど半分に相当します。

起動 (層流プロファイルの形成)

上式の圧力勾配 dp/dx は、流体が流れ続けるように摩擦損失を補償するために必要です。ただし、流れは「ただそこにある」ものではなく、作り出す必要があります。言い換えれば、流体はまず特徴的な放物線状の流れプロファイルまで加速されなければなりません。したがって、ハーゲン・ポアズイユ方程式に関する記事で導き出され説明された関係は、流れプロファイルがすでに完全に開発されているパイプ部分にのみ適用されます。上記の方程式も同様です。

したがって、以下では、全体のフロープロセスをより詳しく説明したいと思います。この目的のために、液体で完全に満たされた大きなタンクを想像します。タンクの底部には水平パイプが側面に接続されており、そこを通って流体が開口部に流れ込みます。タンクが大きいので、液体が流出しても液面の沈下が目立ちません。液体はいわばタンク内で移動するのではなく、明らかにパイプを通って屋外へと加速されます。

放物線状の流れプロファイルが完全に発達するまで流体がパイプ内を移動する距離は入口長と呼ばれます。 またはスタートアップの長さ 。始動長に沿った流れは入口流れと呼ばれます。 または起動フロー 。以下の図は、パイプ内のさまざまな点での速度分布を示しています。

フローは 3 つの部分に分けることができます。

• 一定の入口速度までの加速 そして
• その後の放物線速度プロファイルへの加速 、
• また摩擦 それは永久に補償されなければなりません。

3 つのプロセスはすべて、対応するエネルギー入力、つまり圧力降下に関連しています。これについては、以下で詳しく説明します。

一定の入口速度 (入口流量) までの加速

流体は、最初にタンク内のパイプ軸のレベルで入口の始まりまで加速されます (吸気流) ）。流線型で丸みを帯びた入口にほぼ一定の速度で流入します。 c.丸みを付けることは、実際には決定的です。そうしないと、いわゆる大静脈収縮により、流量プロファイルが鋭いエッジの移行部で狭くなり、流量の減少につながるからです (詳細については、記事「液体の排出」を参照してください)。

圧力 p1 がパイプ軸のレベルで静止流体に作用する場合、この圧力の一部は液体を一定の入口速度 c まで加速するために使用されます。ベルヌーイの方程式によれば、これにより入口の (静) 圧力が値 p2 まで減少します。液体の加速によるこの圧力降下 Δpa1 は次のように求められます。

\begin{整列}
&p_2 =p_1 – \frac{\rho}{2} c^2 \\[5px]
\label{p}
&\Delta p_{a1} =p_1-p_2=\frac{\rho}{2} c^2 \\[5px]
\end{整列}

放物線状の速度プロファイルへの加速 (ポアズイユ流)

流体が入口まで一定の入口速度 c まで加速された後、流体とパイプ壁の間の摩擦が始動長さにわたって影響を及ぼし始めます (吸入流から始動流へのこの移行はスムーズです)。そこの流体は壁に付着しているため、 壁での流速はゼロになります（滑りがない状態） ）。粘性のため、壁から遠く離れた流体層はますます減速します。

パイプ壁付近で速度が低下しても、質量保存により同じ質量がパイプ内を流れなければなりません (連続方程式)。 ）。したがって、流速は壁に向かって減少しますが、パイプの中心領域 (コア流) の速度は入口速度と比較して増加する必要があります。多くの場合、開始長さに沿った炉心流は一定速度の領域と見なされます。エッジに向かって、速度は放物線状に減少してゼロになります。一定の距離を離れると、最終的に連続的な放物線の輪郭が現れます。これは、スタートアップの長さの終わりを示します。

結局のところ、流体はパイプの中心付近で速度が増すのと同じ程度にパイプの壁付近で速度を失うため、放物線状の速度プロファイルの形成には追加のエネルギーは必要ないと結論に飛びつく人もいるかもしれません。これは速度には当てはまりますが、運動エネルギーには当てはまりません。運動エネルギーは速度と二次関数的に関係します。さらに、速度プロファイル自体は放物線状であるため、流れの中央にある高速成分が運動エネルギーに大きく影響します。

壁付近での運動エネルギーの損失は、中心付近の流体を加速するのに必要な運動エネルギーを上回ることはありません。したがって、一定の入口速度プロファイルから放物線状の速度プロファイルを形成するには追加のエネルギーが必要です。この追加エネルギーは、始動流の運動エネルギー量に相当します。方程式 (\ref{p}) と同様に、放物線状の流れプロファイルを形成するのに必要なエネルギーにより、さらなる圧力降下 Δpa2 が発生します。実際、この必要なエネルギーは方程式 (\ref{p}) と同じです (この記事の最後のセクションで説明します)。

\begin{整列}
\label{pp}
&\Delta p_{a2} =\frac{\rho}{2} c^2 \\[5px]
\end{整列}

したがって、全体として、流体の加速プロセス中に次の圧力降下が発生します。

\begin{整列}
&\Delta p_{a} =\Delta p_{a1} + \Delta p_{a1} \\[5px]
\label{ppp}
&\boxed{\Delta p_{a} =\rho c^2} ~~~~~\text{修正用語} \\[5px]
\end{整列}

合計の圧力降下については、方程式 (\ref{loss}) に従った実際の摩擦損失を当然考慮する必要があります (流れプロファイルが形成されているかどうかに関係なく、この項で説明される摩擦力が作用するため、この項は始動長にも沿って存在することに注意してください)。

\begin{整列}
&\Delta p =\Delta p_a + \Delta p_V \\[5px]
&\boxed{\Delta p =\frac{8\eta \cdot L}{R^2} \cdot c + \rho c^2} \\[5px]
\end{整列}

ディスカッション

この方程式から、パイプに沿った圧力降下の場合、通常、流体を加速するための運動エネルギーも考慮する必要があることがわかります。しかし、この方程式は、パイプの長さ L が長く、同時に半径 R が小さい場合、摩擦損失を説明するために使用される項が、加速度を説明するために使用される項よりも大きくなるということも示しています。

実際、ポワズイユ 当初、加速による圧力損失を考慮する必要性を認識できませんでした。その結果、特に短いパイプの場合、体積流量の予測が不正確になりました。ハーゲンが項 (\ref{ppp}) によって方程式を修正したときにのみ、理論的な予測が実践と一致しました。したがって、この加速項は補正項とも呼ばれます。 .

ところで、パイプが水平に配置されず、高さ Δh を超える場合は、流体に位置エネルギーを追加する必要があります。これにより、さらなる圧力降下 Δph=ϱ⋅g⋅Δh が発生します。このトピックについて詳しくは、「ベルヌーイの定理」の記事をご覧ください。

パイプの長さとパイプの直径の最小比

加速エネルギー（流れの微視的解析）

以下では、ポアズイユの流れをエネルギー的な観点からより詳しく検討します。長さ ΔL のパイプ部分では、流れの運動エネルギーが顕微鏡レベルで決定されます。この目的のために、半径 r と厚さ dr の中空円柱を考えます。この円柱の高さがパイプ部分の長さΔLに相当します。この中空円筒に含まれる流体の質量は、次の式で求められます。

\begin{整列}
\label{DM}
&\text{d}m =\overbrace{\underbrace{2\pi r \cdot \text{d}r}_{\text{d}A} \cdot \Delta L}^{\text{d}V}\cdot \rho \\[5px]
\end{整列}

距離 r におけるこの質量の速度は方程式 (\ref{vrr}) で与えられるため、運動エネルギー dWkin が適用されます。

\begin{整列}
\text{d}W_\text{kin} &=\frac{1}{2} \text{d}m \cdot v^2(r) \\[5px]
&=\frac{1}{2} \overbrace{2\pi r \cdot \text{d}r \cdot \Delta L \cdot \rho}^{\text{d}m} \cdot v^2(r) \\[5px]
&=\pi r \rho \Delta L \cdot v^2(r) \cdot \text{d}r \\[5px]
&=\pi r \rho \Delta L \cdot v_\text{max}^2 \cdot \left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^2\right]^2 \cdot \text{d}r \\[5px]
&=\pi \rho \Delta L \cdot v_\text{max}^2 \cdot \left(r-\frac{2r^3}{R^2} +\frac{r^5}{R^4} \right) \cdot \text{d}r \\[5px]
\end{整列}

パイプ セクション全体の内部の運動エネルギー Wkin は、r=0 から r=R までの範囲内でこの式を積分することで最終的に得られます。

\begin{整列}
W_\text{kin} &=\int \text{d} P_\text{kin} =\pi\rho \Delta L ~v_\text{max}^2 \cdot \int \limits_0^R \left(r-\frac{2r^3}{R^2} +\frac{r^5}{R^4} \right) \cdot \text{d}r \\[5px]
&=\pi\rho\Delta L~v_\text{max}^2 \cdot \left\vert \frac{r^2}{2}-\frac{r^4}{2R^2} +\frac{r^6}{6R^4}\right\vert_0^R \\[5px]
&=\pi\rho \Delta L~ v_\text{max}^2 \cdot \left( \frac{R^2}{2}-\frac{R^4}{2R^2} +\frac{R^6}{6R^4} \right) \\[5px]
&=\pi\rho \Delta L~ v_\text{max}^2 \cdot \frac{R^2}{6} \\[5px]
\end{整列}

この方程式を整理すると、運動エネルギーは平均流速 c の関数として表すこともできます。

\begin{整列}
W_\text{kin} &=\pi\rho \Delta L~ v_\text{max}^2 \cdot \frac{R^2}{6} \\[5px]
&=\pi\rho \Delta L~ v_\text{max} \cdot \underbrace{\frac{v_\text{max}}{2}}_{c} \cdot \frac{R^2}{3} \\[5px]
&=\pi\rho c \Delta L~ v_\text{max} \cdot \frac{R^2}{3} \\[5px]
\end{整列}

式 (\ref{max}) による関係が最大流速に使用される場合、運動エネルギーは圧力勾配に基づいて決定できます (この時点では、符号なしで圧力勾配の大きさのみを考慮する必要があります)。

\begin{整列}
W_\text{kin} &=\pi\rho c \Delta L \cdot \overbrace{\frac{R^2}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x}}^{v_\text{max}} \cdot \frac{R^2}{3} \\[5px]
W_\text{kin} &=\frac{ \pi\rho c \Delta L R^4}{12\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \\[5px]
\end{整列}

長さ ΔL と圧力損失 Δp のパイプ部分の場合、圧力勾配は式 (\ref{pv}) に従って与えられるため、運動エネルギーは次のように圧力差から決定されます。

\begin{整列}
&W_\text{kin} =\frac{ \pi\rho c \Delta L R^4}{12\eta} \frac{\Delta p}{\Delta L} \\[5px]
\label{x}
&\boxed{W_\text{kin} =\frac{\pi\rho c R^4 \Delta p}{12 \eta}} \\[5px]
\end{整列}

流れの運動エネルギーは、流体の加速に必要な仕事に相当します。

変位エネルギー (流れの巨視的解析)

流体の流れは、圧力差によって流体がパイプ内を押されることによって引き起こされます。パイプセクションを通して流体を移動するには、特定の力、つまりエネルギーが必要です。この変位エネルギーを求めるには 、私たちは流体を顕微鏡レベルで見るのではなく、巨視的レベルで見るようになりました。

流体を押しのけるのに必要な力は、パイプの始点と終点の間の圧力差とパイプの断面積によって決まります。

\begin{整列}
F =\Delta p \cdot A =\Delta p \cdot \pi R^2 \\[5px]
\end{整列}

したがって、流体がパイプセクション全体を流れるときに適用されるエネルギー ΔL は、次のように決定できます。

\begin{整列}
&W_V =F \cdot \Delta L \\[5px]
\label{y}
&\boxed{W_V =\Delta p \cdot \pi R^2 \Delta L} ~~~~~\text{適用される変位エネルギー}\\[5px]
\end{整列}

パイプ長さとパイプ直径の最小比

以下の考察により、ハーゲン・ポワズイユ方程式の妥当性に関するパイプの長さとパイプの直径の間の最小比を推定することができます。加えられた変位エネルギーは、一方では流体を加速するために、他方では摩擦を克服するために使用されます。摩擦は常に存在するため、式 (\ref{x}) に従って加速に必要なエネルギーは、式 (\ref{y}) に従って適用される変位エネルギーよりも大きくすることはできません。したがって、次の条件を満たす必要があります。

\begin{整列}
\require{キャンセル}
W_V &>W_{\text{kin}} \\[5px]
\cancel{\Delta p} \cdot \cancel{\pi} R^2 \Delta L &> \frac{\cancel{\pi} \rho c R^4 \cancel{\Delta p}}{12 \eta}\\[5px]
\Delta L &> \frac{ \rho c R^2 }{12 \eta}\\[5px]
\Delta L &> \frac{ \rho c ~2R }{\eta}\cdot \frac{2R}{48}\\[5px]
\Delta L &> \color{red}{\frac{ \rho ~c ~D }{\eta}}\cdot \frac{D}{48}\\[5px]
\end{整列}

赤でマークされた用語（密度、流速、パイプ直径、粘度で構成）は、いわゆるレイノルズ数に対応します。したがって、パイプの長さとパイプの直径の最小必要比率は、レイノルズ数によって決まります。

\begin{整列}
&\Delta L> \color{red}{Re}\cdot \frac{D}{48}\\[5px]
&\boxed{\frac{\Delta L}{D}> \frac{Re}{48}} \\[5px]
\end{整列}

ハーゲン ポアズイユの法則が有効であるためには、パイプの長さと半径の比がレイノルズ数の 48 分の 1 より大きくなければなりません。

この記述は、乱流に関してさらに制限される必要があります。そこではハーゲン・ポワズイユ方程式は原理的に当てはまりません。実際には、パイプ内の乱流は 2300 を超えるレイノルズ数から予想されることが示されています。このような限定的なケースでは、長さと直径の比は約 50 になります。つまり、ハーゲン ポアズイユ方程式に従って放物線状の速度プロファイルが確立されるには、パイプは直径の約 50 倍の長さでなければなりません。

放物線状の速度プロファイルと比較した一定の始動流の運動パワー

このセクションでは、放物線状の速度プロファイルの形成には、その結果として生じる一定の始動流の形成と同じエネルギーが必要であることを証明します。この目的のために、流体がパイプの断面を流れる運動力 (単位時間あたりの運動エネルギー) を計算します。

パイプの中心から半径 r 、厚さ dr のリングを考えます。時間 dt 内に、流体は表面 dA=2π⋅r⋅dr を速度 v(r) で流れます。流体は距離 dl=v(r)⋅dt をカバーします。したがって、リング表面を流れる質量 dm には、次の式が適用されます。

\begin{整列}
&\text{d}m =\text{d}V \cdot \rho =\text{d}A\cdot \text{d}l \cdot \rho=2\pi r\cdot\text{d}r \cdot v(r)\cdot \text{d}t \cdot \rho\\[5px]
\end{整列}

したがって、時間 dt 内に、以下の指定量のエネルギー dWkin がリング表面を流れ、そこから電力を時間単位当たりのエネルギー dPkin として計算できます。

\begin{整列}
&W_\text{kin}=\frac{1}{2} \text{d}m~ v^2(r)=\pi\rho r\cdot v^3(r)\cdot \text{d}r ~\text{d}t \\[5px]
&\text{d}P_\text{kin}=\frac{W_\text{kin}}{\text{d}t} =\pi\rho r\cdot v^3(r)\cdot \text{d}r\\[5px]
\end{整列}

パイプ断面全体の運動パワーは、r=0 と r=R の間の制限内でこの式を積分することで最終的に得られます。

\begin{整列}
&\underline{P_\text{kin}=\pi\rho ~\int\limits_0^R r\cdot v^3(r)\cdot \text{d}r}\\[5px]
\end{整列}

パイプの入口では、速度は断面全体にわたって一定です (半径の影響はありません)。質量保存則により、この速度は平均流速に対応します。 ポワズイユ流のc。したがって、断面全体にわたって一定である v(r)=c の速度プロファイルの場合、次の式が運動パワーに適用されます。

\begin{整列}
&P_\text{kin,1}=\pi\rho~c^3~\int\limits_0^R r \cdot \text{d}r =\pi\rho~\left\vert \frac{1}{2}r^2 \right\vert_0^R \\[5px]
&\boxed{P_\text{kin,1}=\frac{1}{2}\pi\rho~R^2~c^3} \\[5px]
\end{整列}

この運動パワーは、始動長さの開始時に直接測定されたパワーに対応します。次に、放物線状の流れプロファイルを使用して運動出力、つまり始動長後の出力を決定します。この場合、速度は方程式 (\ref{vrr}) に従った半径の関数であり、次の運動パワーが得られます。

\begin{整列}
P_\text{kin,2}&=\pi\rho~~\int\limits_0^R r~\overbrace{v^3_\text{max} \cdot \left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^2\right]^3}^{v^3(r)}~ \cdot \text{d}r \\[5px]
&=\pi\rho~v^3_\text{max} ~\int\limits_0^R \left(r-\frac{3r^3}{R^2}+\frac{3r^5}{R^4} -\frac{r^7}{R^6} \right) \cdot \text{d}r \\[5px]
&=\pi\rho~v^3_\text{max}\left\vert \frac{r^2}{2}-\frac{3r^4}{4R^2}+\frac{3r^6}{6R^4} -\frac{r^8}{8R^6} \right\vert_0^R \\[5px]
&=\frac{1}{8}\pi\rho~R^2~v^3_\text{max} \\[5px]
\end{整列}

式 (\ref{vmax}) による最大流速 vmax は平均流速 c の 2 倍であるため、次の運動出力が得られます。

\begin{整列}
&P_\text{kin,2}=\frac{1}{8}\pi\rho~R^2~(2c)^3\\[5px]
&\boxed{P_\text{kin,2}=\pi\rho~R^2~c^3} \\[5px]
\end{整列}

したがって、放物線状の速度プロファイルの形成後の運動出力は、以前の 2 倍になります。どうやら、放物線状の速度プロファイルを形成するには、一定の入口速度を得るために以前に必要であったのと同じ量のエネルギー (単位時間あたり) を流れに投入する必要があります。

簡単に言うと、短いパイプは放物線状の速度プロファイルを持ちません。これに必要なエネルギーは、流体がパイプ内を流れる比較的短い時間内に適用できないためです。したがって、流速が増加する (レイノルズ数が増加する) と、必要な最小パイプ長も増加します。