三体問題は、互いに影響し合う 3 つの重力体の運動方程式を見つけることに関係しています。数学的に複雑なため、解くのは困難です。
私たちの周りの自然界を説明する科学の分野は物理学です。客観的な現実に可能な限り近づくために (つまり、科学者の個人的な偏見がなく、最高の精度で記述できるものだけに頼る)、物理学はその中心的な作業手段として数学に依存しています。したがって、数学の進歩はしばしば理論物理学の進歩に役立ち、実際の実装によって検証することができます。ただし、関連する数学が複雑すぎて解決できない場合、物理学の潜在的な進歩にも影響が及びます。
重力力学 (重力による物体の運動) は、数学に大きく依存する物理学の最も古い分野の 1 つです。重力におけるそのような問題の 1 つは、三体問題です。 .
問題ステートメント
ニュートンの重力理論は、2 つの重力源間の相互作用をかなり高い精度で説明します。しかし、現実世界は 2 つ以上の天体を持つシステム (たとえば、太陽系) で構成されているため、2 つ以上の天体の方程式が必要です。
三体問題 物理学では、3 つの重力源 (3 つの惑星、3 つの星、またはそれらの組み合わせ) を持つ閉鎖系 (外力が存在しない) の進化 (時間の経過に伴う変化) に関係しています。目的は、任意の時点での 3 つの天体の位置と運動量の値を与える解に到達することです。
地球、太陽、月の相互作用は、衛星を月に送るために正確に解決しなければならない 3 体問題です (写真提供者 :grayjay/Shutterstock)
必要なソリューションの種類
目的は、ニュートンの重力理論を使用して、システム内の各物体の位置と運動量をいつでも指定する方程式 (または一連の方程式) に到達することです。
解決策を実行可能にするための要件は次のとおりです。
- 解決策は一般的でなければなりません 、つまり、考えられるすべての開始構成で動作 3体のうち。より具体的には、時間の値を差し込むだけで、後で 3 つの天体すべての位置と運動量を与える方程式 (または一連の方程式) の形式の解が必要です。
- たとえば、式 y(t) =u
t + 0.5 a t2 は y, の一般解です ここで、t の値を差し込むだけで答えを計算できます。 式は u の任意の値に対して有効です と a (初期条件). - 解決策は閉じた形式でなければなりません .閉形式の解は、有限回の数学演算 (+、-、 ,
, - たとえば、式 y =mx + c y を表現するために単一の乗算と単一の加算が使用されるため、閉じた形式のソリューションです。 .同様に、方程式 y =ex +
は、べき乗、足し算、平方根が 1 つずつあるため、閉形式の式です。ただし、式 y =1 + x + x2 + x3 + ……は クローズド フォーム ソリューションではありません y を表現するために必要な足し算は無数にあるため .
運動方程式は、閉じた形式の式の例です。時間の任意の値について、位置を絶対精度で予測できます。 (写真提供:zizou7/Shutterstock)
解決策が前述の属性を持たない場合、その解決策は破棄されます 理由:
- 一般的な解決策がないということは、すべての固有の開始構成について、新しい式を導出する必要があることを意味します。 3 つの物体の開始位置は無数にある可能性があるため、無数の解を導き出す必要があります。
- 閉じた形式の解がないということは、無限に多くの項を計算する必要があり、いつ停止するかの指示がないことを意味します。したがって、(エンドポイントがないため) 精度を決定することはできず、使用される計算能力は膨大になります。
このような方程式は、収束が非常に遅く、多くの計算能力と時間が必要なため望ましくないため、一般的には好まれません。 (写真提供:benjaminec/Shutterstock)
数学的デッドエンドと物理的解釈
ニュートンによれば、r の距離だけ離れた 2 つの物体間の引力 、重力によるものは次のように与えられます:
ここで、
まあ、まあ b =物体の質量 a および b、 それぞれ、
=2 つの物体の中心を結ぶ線に沿った単位ベクトル (長さ 1 のベクトル)。
ニュートンの万有引力の法則 (写真提供:Nasky/Shutterstock)
ma 3 つのミサをしましょう 、mb とmc 、任意の（ランダムな）構成で空間に配置できます。 3 つの物体のそれぞれの間の距離を rab とします。 、人種 とrbc 、 それぞれ。位置 ra を見つけたい ,r b そしてr c と運動量 pa 、p b とパソコン 、それぞれ任意の時点 t における 3 つの質量 .
各質量は、他の 2 つの質量による引力の影響を受けます。これは次のように数学的に表現できます:
- m が経験した力 a mb が原因 とmc :
- mb が経験した力 お母さんのせい とmc :
- mc が経験した力 お母さんのせい そしてママ :
どこ 
, 
および 
は質量 a の加速度です 、b そしてc、
上記の方程式は、微分方程式のシステムです。 これは、実際には重力に適用されるニュートンの第 2 法則です (重力は運動量の変化率に等しい)。
3 つの質量は互いに影響を与えるため、上記は結合された連立方程式です。 システムのエネルギーは、次の偏微分方程式のシステムによって与えられます:
ここで、
H =システムの総エネルギー (運動 + ポテンシャル)
pi =各質量の運動量
ri =各質量の位置
式 (i) 時間による位置の変化 (つまり、速度) は、運動量の変化に対するエネルギーの変化の比率に等しい (速度 =全エネルギーの変化) 勢いの変化)
方程式 (ii) 時間による運動量の変化 (つまり、力) は、位置の変化によるエネルギーの変化の比率 (力 =総エネルギーの変化) に等しいことを伝えます。 質量の変位)
ここで問題が発生します .
上記の連立方程式は可積分であるため、将来 (または過去) の任意の時点での位置と運動量を無期限に予測する一般的な閉じた形式の解を見つけることは不可能です。
物理的には、これは、各ボディの動きが他の 2 つのボディの動きに依存し、システムの重心が常に位置を移動するためです。物体の初期位置と運動量を完全な精度で測定することは不可能であるため (精度はおそらく 99.99% ですが、100.00% ではありません)、初期条件の測定には常にわずかな不確実性 (0.01% またはそれ以下) が存在します。最終状態は初期条件に依存するため、最終状態の不確実性は、初期状態から最終状態に発展するにつれて、このシステムで乗算されます。期間が長いほど、最終状態の不確実性が大きくなります。十分な時間が経過した場合、実際の最終状態は、理論的に計算された状態とはまったく異なる可能性があります。
(非可積分性の厳密な数学的研究が必要な場合は、こちらをチェックしてください)
非統合性と代替ソリューションの影響
初期状態に対する最終状態のこの重要な依存性は、システムを無秩序にします。たとえば、初期状態の測定における 1 mm の誤差でさえ、数百万年後の最終状態の不確実性が大幅に増加します。このように、位置と勢いを無期限に未来に与える表現を見つけるという目的は、必然的に失敗します.
二重振り子は混沌としたシステムの一例です。初期条件の小さな変化は、最終条件の指数関数的な変化に変換されます。 (写真提供:デア・メッサー/ウィキメディア・コモンズ)
しかし、待ってください。NASA が地球のそばを数百年後に通過する彗星や、数千年または数百万年先の太陽系の広く受け入れられている将来の状態について、NASA がどのように予測しているのか疑問に思っているかもしれません。
答えは数値解析です。各時点で近似解が計算されます (数値が割り当てられます)。たとえば、システムの状態を t=50 秒で計算する必要がある場合、t=0、1、2、3、…… 50 から連続して解が計算されます。位置と運動量に関連付けられた値であり、その値は次の時間ステップで解を計算するために使用されます。
近似解は、数値アルゴリズムを使用して取得されます。ソリューションの精度は、結果の計算の頻度によって決まります (写真提供:Krishnavedala/Wikimedia commons
