2 点間の距離

1. 2 次元デカルト座標系

特定のデカルト座標を考えてみましょうO(0,0) を原点とする系。 P(a1,b1) と Q(a2,b2) を距離 D だけ離れた 2 点とすると、D は次のように与えられます

D=(a1-a2) 2+(b1-b2)2

2.平面極座標系

2 つの点 P( r1,𝚹1) と Q(r2,𝚹2) の場合、P と Q の間の距離 (D) は次のように与えられます:

D=r12+r22-2r1r2cos (𝚹1-𝚹2)

3.三次元デカルト座標系

三次元デカルト座標系、2 つの点 E(a1,b1,c1) と F(a2,b2,c ) が与えられた場合、それらの間の距離 D は次のように与えられます。

D=(a1-a2) 2+(b1-b2)2+(c1-c2)2

距離公式の導出

4.デカルト座標系

2 次元デカルト座標を考えてみましょうシステム。 O(0,0) を原点とする。 2 点 P(a1,b1) と Q(a2,b2) を考えます。

図に示すように、ポイントR の座標は (a1,b2) になります。セグメント PQ の長さを計算します。

直角三角形 PRQ を考えてみましょう.ピタゴラスの定理によると:

|PQ|2=|PR |2+|RQ|2 …………….(1)

図から:

|PR|=|b1- b2|および |RQ|=|a1-a2|

|PR| の値を代入すると|RQ|式 (1) では、次のようになります。

D2=(b1-b2) 2+(a1-a2)2

∴ D=(b1-b2 )2+(a1-a2)2

これは必要な距離式です。

Qus.ポイント E(2,4) と F(-1,7) の間の距離を計算します。

Ans.点 E と F はデカルト座標で与えられます。式 (2) を使用すると、次のように記述できます。

D=(b1-b2) 2+(a1-a2)2

D=(4-7) 2+(2-(-1))2

D=(-3)2 +(3)2=9+9=18 ユニット

これは点 E 間の距離ですとF

5. 平面の極座標

平面の極座標系を次のように考えます。下の図に示されています。 O(0,0) を原点とする。図に示すように、L(r1,𝚹1) と M(r2,𝚹2) の 2 点を考えてみましょう。

点 L からの半径距離原点はR1、x軸となす角度は𝚹1

点 M からの半径距離原点は R2 で、x 軸となす角度は 𝚹2

位置ベクトル間の角度L と M は (𝚹1-𝚹2) です。

セグメントLM。 LM の長さが R に等しいとします。

余弦の法則によると、次のように書くことができます:

R2=R12+R22-2R1R2cos (𝚹1-𝚹2)

∴ R=R12+R22- 2R1R2cos(𝚹1-𝚹2) …………….(2)

任意の式 (2) を使用して、平面の極座標の 2 点を計算します。

Qus.点 E(5,𝛑/3) と F(10,𝛑/6) の間の距離を計算します。

Ans.点 E と F は平面の極座標で与えられます。式 (2) を使用して、次のように記述できます。

R=52+102-2 (5)(10)cos(𝛑/6-𝛑/3)

R=25+100-100cos (-𝛑/6)

R=125-86.60=38.4 =6.20単位

これは点 E 間の距離です

2 点間の距離の特性

1. 距離はスカラー量ですが、変位はベクトル量です。距離は、2 点を結ぶ変位ベクトルの大きさです。

2. 2 点間の距離は常に 0 以上です。

3. 2 点間の距離がゼロの場合、2 点は一致しています (同じ点、つまり (a1,b1)=(a2,b2)).

4. 距離を負にすることはできません。

5. 距離を複素数にすることはできません.

6. 距離を測定する物理単位は、通常、メートル、フィート、インチ、ヤード、パーセク、海里、マイルなどです。