これは基本的なものですが、ベクトルを扱うための入門書です。ベクトルは、変位、速度、加速度から力や場に至るまで、さまざまな方法で現れます。この記事は、ベクトルの数学に専念しています。特定の状況での適用については、別の場所で取り上げます。
ベクトルとスカラー
ベクトル量 、またはベクトル 、大きさだけでなく量の方向に関する情報も提供します。家への道順を示す場合、10 マイル先にあると言うだけでは十分ではありませんが、情報を有効にするには、それらの 10 マイルの方向も提供する必要があります。ベクトルである変数は太字の変数で示されますが、変数の上に小さな矢印で示されるベクトルがよく見られます。
他の家が -10 マイル離れているとは言わないのと同じように、ベクトルの大きさは常に正の数、またはベクトルの「長さ」の絶対値です (量は長さではないかもしれませんが、速度、加速度、力などの可能性があります。ベクトルの前の負の値は、大きさの変化ではなく、ベクトルの方向の変化を示します。
上記の例では、距離はスカラー量 (10 マイル) ですが、変位 はベクトル量 (北東 10 マイル) です。同様に、速度はベクトル量ですが、速度はスカラー量です。
単位ベクトル は大きさが 1 のベクトルです。単位ベクトルを表すベクトルも通常は太字ですが、カラットが付きます (^ ) の上に、変数の単位の性質を示します。単位ベクトル x 、カラットで書かれた場合、カラットは変数のハットのように見えるため、一般に「x-hat」と読みます。
ゼロ ベクトル 、または null ベクトル 、大きさがゼロのベクトルです。 0 と書かれています
ベクトル コンポーネント
ベクトルは一般に座標系に基づいており、最も一般的なのは 2 次元デカルト平面です。デカルト平面には、x とラベル付けされた水平軸と y とラベル付けされた垂直軸があります。物理学におけるベクトルの高度な応用には、軸が x、y、および z である 3 次元空間を使用する必要があります。この記事では主に 2 次元システムを扱いますが、概念はあまり問題なく 3 次元に拡張することができます。
多次元座標系のベクトルは、成分ベクトルに分割できます . 2 次元の場合、これは x-component になります。 および y 成分 .ベクトルをコンポーネントに分割すると、ベクトルはコンポーネントの合計になります:
F =Fx + Fy
シータ Fx Fy ふ
Fx / F =cos シータ そしてFy / F =sin シータ
Fx =F cos シータ そしてFy =F sin シータ
ここでの数値はベクトルの大きさであることに注意してください。コンポーネントの方向はわかっていますが、大きさを見つけようとしているので、方向情報を取り除き、これらのスカラー計算を実行して大きさを計算します。三角法をさらに適用して、これらの量のいくつかに関連する他の関係 (接線など) を見つけることができますが、今のところはそれで十分だと思います.
何年もの間、学生が学ぶ唯一の数学はスカラー数学です。北に 5 マイル、東に 5 マイル移動すると、10 マイル移動したことになります。スカラー量を追加すると、方向に関するすべての情報が無視されます。
ベクトルの操作方法は多少異なります。それらを操作するときは、常に方向を考慮する必要があります。
コンポーネントの追加
2 つのベクトルを追加すると、ベクトルを取得して端から端まで配置し、始点から終点までの新しいベクトルを作成したかのようになります。ベクトルの方向が同じ場合、これはマグニチュードを加算することを意味しますが、方向が異なる場合は、より複雑になる可能性があります。
以下のように、ベクトルをコンポーネントに分割してからコンポーネントを追加することで、ベクトルを追加します:
a + ば =c
ax + ay + bx + by =
( ax + bx ) + ( ay + by ) =cx + cy
2 つの x 成分は新しい変数の x 成分になり、2 つの y 成分は新しい変数の y 成分になります。
ベクトル加算の性質
ベクトルを追加する順序は重要ではありません。実際、スカラー加算のいくつかのプロパティは、ベクトル加算にも当てはまります:
ベクトル加算の恒等性
+ 0 =<強い>a
ベクトル加算の逆性質
+ -a =a - a =<強い>0
ベクトル加算の反射特性
=<強い>a
ベクトル加算の可換性
+ ば =b + a
ベクトル加算の結合プロパティ
(a + ば ) + c =a + (b + c )<強い>
ベクトル加算の推移的性質
a の場合 =b とc =b 、次に a =c
ベクトルに対して実行できる最も簡単な操作は、スカラーを乗算することです。このスカラー乗算は、ベクトルの大きさを変更します。つまり、ベクトルが長くなったり短くなったりします。
負のスカラーを乗算すると、結果のベクトルは反対方向を指します。
スカラー積 2 つのベクトルを乗算してスカラー量を取得する方法です。これは、2 つのベクトルの乗算として記述され、中央のドットは乗算を表します。そのため、内積と呼ばれることがよくあります。
2 つのベクトルの内積を計算するには、それらの間の角度を考慮します。言い換えれば、それらが同じ開始点を共有した場合、角度の測定値 (シータ) はどうなるでしょうか ） それらの間の。内積は次のように定義されます:
a * b =ab cos シータ
ab アバ
ベクトルが垂直 (または theta) の場合 =90 度)、cos シータ ゼロになります。したがって、垂直ベクトルの内積は常にゼロです .ベクトルが平行 (または theta) の場合 =0 度)、cos シータ は 1 なので、スカラー積は単に大きさの積です。
これらのきちんとした小さな事実を使用して、コンポーネントを知っていれば、(2 次元) 方程式を使用してシータの必要性を完全に排除できることを証明できます。
a * b =ax bx + ay by
ベクトル積 a の形式で書かれています x b 、通常交差積と呼ばれます 2 つのベクトルの。この場合、ベクトルを乗算して、スカラー量を取得する代わりに、ベクトル量を取得します。これは、 ではないため、これから扱うベクトル計算の中で最も難しいものです。 可換であり、恐ろしい右手の法則の使用を伴います 、すぐに説明します。
マグニチュードの計算
ここでも、同じ点から角度 theta で描かれた 2 つのベクトルを考えます。 それらの間の。常に最小の角度を取るので、シータ は常に 0 から 180 の範囲であり、結果が負になることはありません。結果のベクトルの大きさは次のように決定されます:
c の場合 =a x b 、次に c =ab sin シータ
平行 (または反平行) ベクトルのベクトル積は常にゼロです
ベクトルの方向
ベクトル積は、これら 2 つのベクトルから作成された平面に対して垂直になります。平面がテーブル上で平らであると想像すると、結果のベクトルが上に行くか (私たちの視点からはテーブルの「外」)、下に (または私たちの視点からはテーブルの「中に」) 行くかが問題になります。 /P>
恐ろしい右手の法則
これを理解するには、右手の法則と呼ばれるものを適用する必要があります .学校で物理を勉強したとき、大嫌いだった 右手の法則。使用するたびに、本を引き出して、その仕組みを調べなければなりませんでした。私の説明が、私が紹介されたものよりももう少し直感的であることを願っています.
がある場合 x b bの長さに沿って右手を置きます 指 (親指を除く) が曲がって a に沿って指すようにします。 .つまり、角度 theta を作ろうとしているのです。 右手の手のひらと 4 本の指の間。この場合、親指は真っ直ぐ上に突き出ています (または、コンピューターに近づけようとすると、画面の外に出ます)。ナックルは、2 つのベクトルの始点に大まかに配置されます。正確さは必須ではありませんが、提供できる写真がないので、アイデアを理解してもらいたいです.
ただし、b を検討している場合 x a 、反対のことをします。右手を a に沿って置きます b に沿って指を向けます .これをパソコンの画面でやろうとすると無理なので想像力を働かせてください。この場合、想像力豊かな親指がコンピューターの画面を指していることがわかります。それが結果のベクトルの方向です。
右手の法則は次の関係を示しています:
a x b =- b x a
キャブ
cx =ay bz - az by
cy =az bx - ax bz
cz =ax by - ay bx
ab cx cy c
結びの言葉
より高いレベルでは、ベクトルの操作が非常に複雑になる可能性があります。線形代数などの大学のコース全体で、行列 (この紹介では親切にも避けました)、ベクトル、および ベクトル空間 に多くの時間を費やしています。 .このレベルの詳細は、この記事の範囲を超えていますが、これにより、物理教室で行われるほとんどのベクトル操作に必要な基礎が提供されるはずです。物理学をより深く学びたいと考えている場合は、教育を進めるにつれて、より複雑なベクトルの概念を紹介します。
