27 年前、物理学者のグループが、数学を覆す偶然の発見をしました。物理学者たちは弦理論の詳細を解明しようとしていたとき、彼らは奇妙な対応を観察しました:ある種類の幾何学的世界から出現する数は、まったく異なる種類の幾何学的世界からの非常に異なる種類の数と正確に一致しました.
物理学者にとって、その対応は興味深いものでした。数学者にとって、それはばかげたことでした。彼らは何十年もの間、これら 2 つの幾何学的設定を互いに分離して研究してきました。彼らが密接な関係にあると主張することは、宇宙飛行士が月面にジャンプした瞬間に、何らかの隠されたつながりが彼の妹を地球にジャンプさせると主張するのと同じくらいありそうにないように思われました.
カリフォルニア大学サンタバーバラ校の数学者であり、一致する数を調査した最初の数学者の 1 人である David Morrison は、「それは完全に法外に見えました」と述べています。
それから 30 年近くが経ち、信じられないという思いは啓示に取って代わられました。物理学者が最初に観察した幾何学的関係は、現代数学で最も盛んな分野の 1 つの主題です。この場はミラー対称性と呼ばれ、一見離れているように見えるこれら 2 つの数学的宇宙が何らかの形で互いに正確に反映しているように見えることにちなんでいます。そして、その最初の対応 (一方の数のセットがもう一方の数のセットと一致する) の観察以来、数学者は精巧なミラーリング関係の多くの例を発見しました:宇宙飛行士と彼の妹が一緒にジャンプするだけでなく、彼らは一緒に手を振って夢を見てください。
最近、ミラー対称性の研究が新たな方向に進んでいます。何年にもわたって同じ根本的な現象のさらなる例を発見した後、数学者は現象が発生する理由の説明に近づいています.
「私たちは地面を見つけたところまで来ています。着陸が見えます」と、カリフォルニア大学バークレー校の数学者、Denis Auroux 氏は述べています。
ミラー対称性の基本的な説明を考え出す努力は、数学者のいくつかのグループによって進められています。彼らは、この分野の中心的な予想の証明に近づいています。彼らの仕事は、幾何学的 DNA の形を明らかにするようなものです — 根本的に異なる 2 つの幾何学的世界がどのように共通の特徴を保持できるかを説明する共有コードです.
鏡の発見
最終的にミラー対称性の分野となるのは、物理学者が余分な次元を探しに行ったときに始まりました。 1960 年代後半までさかのぼると、物理学者は基本粒子 (電子、光子、クォーク) の存在を極小の振動ストリングで説明しようとしていました。 1980 年代までに、物理学者は、「弦理論」を機能させるには、弦が 10 次元に存在する必要があることを理解していました。これは、私たちが観測できる 4 次元時空よりも 6 次元大きいものです。彼らは、目に見えない 6 つの次元で起こったことによって、私たちの物理世界の観測可能な特性が決まると提案しました。
ケンブリッジ大学の数学者である Mark Gross 氏は、次のように述べています。
最終的に、彼らは 6 次元の潜在的な説明を思いつきました。ただし、それらに入る前に、空間がジオメトリを持つとはどういう意味かについて少し考えておく価値があります。
蜂の巣と超高層ビルを考えてみましょう。どちらも 3 次元構造ですが、それぞれ形状が大きく異なります。レイアウトが異なり、外側の曲率が異なり、内角が異なります。同様に、超弦理論家は、欠落している 6 つの次元を想像するための非常に異なる方法を考え出しました.
1 つの方法は、代数幾何学の数学的分野で生まれました。ここで、数学者は多項式を研究します — たとえば、x + はい =1 — 解をグラフ化する (この場合は円)。より複雑な方程式は、精巧な幾何学的空間を形成する可能性があります。数学者は、元の方程式をよりよく理解するために、これらの空間の特性を調査します。数学者はしばしば複素数を使用するため、これらの空間は一般に「複素」多様体 (または形状) と呼ばれます。
もう 1 つのタイプの幾何学的空間は、軌道を回る惑星などの物理システムを考えることによって最初に構築されました。この種の幾何学的空間の各点の座標値は、たとえば、惑星の位置と運動量を指定する場合があります。惑星のすべての可能な位置と可能なすべての運動量を一緒に取ると、惑星の「位相空間」が得られます。これは、点が惑星の運動の完全な説明を提供する幾何学的空間です。この空間には、惑星の運動を支配する物理法則をエンコードする「シンプレクティック」構造があります。
シンプレクティックで複雑な形状は、蜜蝋と鋼のように互いに異なります。それらは非常に異なる種類の空間を作ります。複雑な形状は非常に厳格な構造を持っています。円をもう一度考えてみてください。少しでも揺らすと円ではなくなります。それは、多項式では記述できない完全に異なる形状です。シンプレクティック ジオメトリは、はるかに柔軟です。そこでは、円と少し揺れのある円はほとんど同じです。
「代数幾何学はより厳格な世界ですが、シンプレクティック幾何学はより柔軟です。 「それが、2 つの世界がまったく異なる理由の 1 つであり、深い意味で同等であることに驚くべきことです。」
1980 年代後半、ひも理論家は欠けている 6 つの次元を説明する 2 つの方法を考え出しました。彼らは、どちらのタイプの空間も、説明しようとしている 4 次元の世界と一致することを示しました。このようなペアリングは双対性と呼ばれます:どちらかが機能し、それらを区別するために使用できるテストはありません.
その後、物理学者は、双対性がどこまで拡張されているかを調査し始めました。そうすることで、数学者の注目を集めた 2 種類の空間の間のつながりが明らかになりました。
1991 年、4 人の物理学者 (フィリップ・カンデラス、クセニア・デ・ラ・オッサ、ポール・グリーン、リンダ・パークス) のチームが複素数側で計算を実行し、シンプレクティック側の対応する数について予測するために使用する数値を生成しました。この予測は、6 次元のシンプレクティック空間に描画できるさまざまな種類の曲線の数に関係していました。数学者は、これらの曲線を数えるのに長い間苦労してきました。彼らは、これらの曲線の数が、物理学者が予測を行うために現在使用している複雑な空間での計算と関係があるとは考えていませんでした.
その結果は非常に的外れだったので、最初、数学者はそれをどう解釈すればよいかわかりませんでした。しかしその後、1991 年 5 月にカリフォルニア州バークレーで急遽開催された物理学者と数学者の会議から数か月後に、そのつながりは反論の余地のないものになりました。 「最終的に、数学者は物理学者の予測の検証に取り組み、この 2 つの世界の間のこの対応が、何世紀にもわたってこの鏡の両面を研究してきた数学者たちによって見過ごされていた現実のものであることに気付きました」と Sheridan 氏は述べています。
このミラー双対性の発見は、これら 2 種類の幾何学的空間を研究している数学者が自由に使えるツールの数が 2 倍になったことを意味します。現在、代数幾何学の手法を使用してシンプレクティック幾何学の問題に答えたり、その逆を行ったりすることができます。彼らは接続を悪用する仕事に身を投じました.
別れるのは難しい
同時に、数学者と物理学者は、ミラーリング現象の共通の原因、または根底にある幾何学的な説明を特定しようと試みました。非常に異なる生物間の類似性を、共有された遺伝暗号の要素を通じて説明できるようになったのと同じ方法で、数学者はシンプレクティック多様体と複雑な多様体を「トーラス ファイバー」と呼ばれる基本要素の共有セットに分解することにより、ミラー対称性を説明しようとしました。
トーラスは真ん中に穴が開いた形です。通常の円は 1 次元のトーラスですが、ドーナツの表面は 2 次元のトーラスです。トーラスは、任意の数の次元にすることができます。たくさんの低次元のトーラスを適切な方法で接着すると、それらから高次元の形を作ることができます.
簡単な例を挙げると、地球の表面を思い浮かべてください。二次元の球体です。また、多数の 1 次元の円 (多数の緯度線など) を接着したものと考えることもできます。くっついたこれらすべての円は、球体の「トーラス フィブレーション」です。個々の繊維が織り合わされて、より大きな全体になります。
トーラス線維は、いくつかの点で役立ちます。 1 つは、数学者が複雑な空間を考えるためのより簡単な方法を提供することです。 2 次元球体のトーラス ファイブレーションを構築できるように、ミラー対称性を特徴とする 6 次元のシンプレクティックおよび複雑な空間のトーラス フィブレーションを構築できます。円の代わりに、それらの空間の繊維は立体的なトーラスです。また、6 次元のシンプレクティック多様体を視覚化することは不可能ですが、3 次元のトーラスはほとんど触ることができます。 「それはすでに大きな助けになっています」とシェリダンは言いました。
トーラス フィブレーションは、別の方法でも役立ちます。1 つのミラー スペースを、もう 1 つのミラー スペースを構築するために使用できるビルディング ブロックのセットに減らします。言い換えれば、アヒルを見ただけで犬を理解できるとは限りませんが、それぞれの動物を生の遺伝子コードに分解すると、両方の生物に目があることをそれほど驚くべきことではないと思わせるような類似点を探すことができます.
ここでは、シンプレクティック空間を複雑なミラーに変換する方法を簡単に説明します。まず、シンプレクティック空間でトーラス ファイブレーションを実行します。とりがたくさん取れます。各トーラスには半径があります (円 (1 次元のトーラス) に半径があるように)。次に、各トーラスの半径の逆数をとります。 (したがって、シンプレクティック空間の半径 4 のトーラスは、複合ミラーでは半径 ¼ のトーラスになります。) 次に、逆数の半径を持つこれらの新しいトーラスを使用して、新しい空間を構築します。
1996 年、Andrew Strominger、Shing-Tung Yau、Eric Zaslow は、シンプレクティック空間を複雑なミラーに変換するための一般的なアプローチとして、この方法を提案しました。トーラス ファイブレーションを使用してミラーの一方の側から他方の側に移動することが常に可能であるという提案は、その創始者にちなんで SYZ 予想と呼ばれます。それを証明することは、(1994 年に Maxim Kontsevich によって提案されたホモロジー ミラー対称性予想と共に) ミラー対称性における基本的な問題の 1 つになりました。
実際には、トーラス フィブレーションを作成してから半径の逆数を取得するこの手順を実行するのは簡単ではないため、SYZ 予想を証明するのは困難です。その理由を理解するには、地球の表面の例に戻ります。最初は円でストライプするのは簡単に思えますが、極では円の半径はゼロになります。そしてゼロの逆数は無限大です。 「半径が 0 の場合は、少し問題があります」と Sheridan は言いました。
6 次元のシンプレクティック空間のトーラス フィブレーションを作成しようとすると、これと同じ問題がより顕著になります。そこには、無限に多くのトーラス ファイバーがあり、ファイバーの一部が点 (半径ゼロの点) まで絞られている可能性があります。数学者は、そのような繊維をどのように扱うかをまだ解明しようとしています。 「このトーラス ファイブレーションは、ミラー対称性の最大の難点です」と、ペンシルバニア大学の数学者である Tony Pantev 氏は述べています。
別の言い方をすれば:SYZ 予想は、トーラス フィブレーションがシンプレクティック空間と複素空間の間の重要なリンクであると述べていますが、多くの場合、数学者は予想が規定する変換手順を実行する方法を知りません。
長く隠されたつながり
過去 27 年間に、数学者は何億ものミラー ペアの例を発見しました。このシンプレクティック多様体は、その複素多様体とミラー関係にあります。しかし、現象が発生する理由を理解するには、量は関係ありません。髪の毛がどこから来るのか理解に近づくことなく、箱舟一個分に相当する哺乳類を集めることができます。
「4 億の例など、膨大な数の例があります。例が不足しているわけではありませんが、それにもかかわらず、全体の話が機能する理由について多くのヒントを与えない特定のケースがまだあります」と Gross 氏は述べています.
数学者は、一般的な構築方法を見つけたいと考えています — あなたがシンプレクティック多様体を彼らに渡すことができ、彼らがあなたにその鏡を返すことができるプロセスです。そして今、彼らはそれを手に入れようとしていると信じています。 「私たちは、この現象をケースバイケースで理解することはできません」と Auroux 氏は述べています。 「できる限り一般的に機能することを証明しようとしています。」
数学者は、いくつかの相互に関連する前線に沿って進歩しています。何十年にもわたってミラー対称性の分野を構築した後、彼らは分野が機能する主な理由を理解することに近づいています.
フランスの高等科学研究所 (IHES) の数学者であり、この分野のリーダーである Kontsevich は、次のように述べています。 「すぐに証明されると思います。」
活発な研究分野の 1 つが、SYZ 予想をめぐる行き詰まりを引き起こしています。完全なトーラス フィブレーションなしで、シンプレクティック側から複雑側に幾何学的情報を移植しようとします。 2016 年、Gross と彼の長年の共同研究者であるハンブルグ大学の Bernd Siebert は、そのための汎用的な方法を投稿しました。彼らは現在、この方法がすべてのミラー空間で機能することを立証するための証明を仕上げています。 「証明は完全に書き留められましたが、めちゃくちゃです」と Gross 氏は述べ、Gross 氏と Siebert は年末までに完成させたいと語った.
別の主要な公開研究では、ミラー スペースを提供するトーラス フィブレーションがあると仮定すると、ミラー対称性の最も重要な関係はすべてそこから外れるということを立証しようとしています。この研究プログラムは「ファミリー フローア理論」と呼ばれ、コロンビア大学の数学者であるモハメッド アボウザイドによって開発されています。 2017 年 3 月に Abouzaid は、この一連の論理が特定のタイプのミラー ペアに当てはまることを証明する論文を投稿しましたが、まだすべてのミラー ペアには当てはまりません。
そして最後に、この分野の原点に戻る作業があります。 3 人の数学者 — Sheridan、Sheel Ganatra、Timothy Perutz — は、1990 年代に Kontsevich によって彼の相同ミラー対称性予想に関連して導入された独創的なアイデアに基づいて構築しています。
累積的に、これら 3 つのイニシアチブは、ミラー現象の完全なカプセル化を提供する可能性があります。 「私たちは、すべての大きな「なぜ」の質問がほぼ理解されるところまで来ていると思います」と Auroux 氏は述べています。
