ニュートンの運動の第 2 法則は、物体の質量、その加速度、および物体に作用する正味の力の間の関係を示しています。しかし、この法則は、動いているときに重量が増減する一部のオブジェクトには適用できません。ニュートンの運動の法則と運動量係数の追加を利用して、そのようなオブジェクトの別の方程式を導出する必要があります。
可変質量システムの意味
質量が時間とともに変化し、コレクションの形をとっている物質は、可変質量システムと呼ばれます。
派生
計算を簡単にするために、すべてのボディをパーティクルと見なします。可変質量システムの運動方程式には、さまざまな派生があります。式は、質量が流出するか流入するかによって異なります。可変質量システムの方程式の導出は、物体による質量の放出または物体による質量の降着に依存します。
大量切除または駆出
本体から質量が放出されるシステムの派生は、それが切除されるときとは異なります。質量 m が時間 t に速度 v で移動すると、システムの初期運動量は次のようになります。
p1 =mv
時間 t + dt での質量 dm (アブレーション) の速度を考えてみましょう。次に、システムに得られる勢いは、
p2 =(m – dm)(v+dv) – udm=mv + mdv – vdm – dmdv – udm
上記の式では、u は、放出された質量の速度と見なされます。質量と反対の方向にあるのでマイナスに取られます。時間 dt でのシステムの運動量は次のように与えられます:
dp =p2 – p1 =(mv + mdv – vdm – dmdv – udm) – (mv)=mdv – (v+dv+u)dm
ここで、アブレーションされた質量 m は相対速度 vrel を持ちます
vrel =u – (- v- dv) =v + dv + u
したがって、運動量の変化は次のように書くことができます。
dp =(mv)=mdv vrel dm
したがって、 ニュートンの第二法則により
Fext =dp dt =mdv-vrel dm/dt =m dvdt – vrel dmdt
したがって、最終的な方程式は、
Fext + vrel dmdt =m dvdt
大量降着または蓄積
物体は速度 v で動いており、質量 m を持ち、時間と初期 t によって変化します。同時に、質量dm、速度uの粒子も動き始めます。開始点での運動量 (初期運動量) は次のように記述できます。
p1=mv+udm
ここで、t + dt の時点で、本体と粒子の両方が速度 v + dv の本体に降着します。システムの新しい勢いは、
p2=(m+dm)(v+dv)=mv+mdv+vdm+dmdv
dm と dv の値は非常に小さいので、それらの積は無視してください。時間 dt で、システムの運動量は次のように変化します。
dp=p2-p1=(mv+mdv+vdm) – (mv+udm)=mdv-(u-v)dm
したがって、 ニュートンの第二法則により
Fext =dp dt =mdv-(u-v)dmdt =m dvdt –(u-v) dmdt
dm は速度 u – v を持つ m と関係があることがわかっています。したがって、u-v を vrel に保つことで 、私たちが得る方程式では、
Fext + vrel dmdt =m dvdt
フォーム
加速度の方程式 a =dv/dt を使用して、可変質量システムの運動方程式を次のように書くことができます
Fext + vrel dmdt =ma
ボディが粒子 a の下に入らない場合は、ボディを acm に置き換えます。したがって、システムの中心質量は加速度を持ち、
Fext + vrel dmdt =macm
多くの場合、推力による力は Fthrust =vrel dmdtso と呼ばれます。
Fext + Fthrust =macm
正味の力をスラスト力と外力の合計とみなすと、式はニュートンの第 2 法則に戻ります。
Fnet =macm
また、式 Fext + Fthrust =macm は、外部の力がなくても、推力による加速度が物体にあることを示しています。
結論
したがって、運動量は可変質量システムで保存されると結論付けることができます。可変質量システムの運動方程式は、質量の降着またはアブレーションの状況に依存するため、さまざまな導出があります。体に外力が作用しなくても、推力によって体は加速します。
