運動変数
物理系の運動の一般的な状態を記述するために、運動方程式を使用します。一般に、運動方程式は、位置、時間、速度、加速度の 4 つの主な変数によって支配されます。
たとえば、単振り子の運動の場合、単振り子の運動方程式は、
(d2θ/dt2)+ (g/L)θ =0
ここで、θ は位置、t は時間、g は加速度を表します。
では、これらの変数を個別に見てみましょう。
位置
位置は、物体または量が空間のどこにあるかを示します。座標系を使用して、空間内のポイントのアドレスを提供します。通常、デカルト座標系を使用して位置を記述します。ただし、2 次元空間の極座標系、3 次元空間の円筒極座標系や球面極座標系など、他の座標系を使用することもできます。都合に合わせて座標を選択します。
オブジェクトの位置座標が時間的に変化したときに、オブジェクトが空間内を移動したことがわかります。この位置の変化により、体が変位します。
この変位は、位置ベクトルの変化のベクトル和として記述できます。
変位はモーションのパスに依存しません。最終的な座標のみに依存します。しかし、円に沿って移動すると、しばらくして最初の位置に到達します。その位置に到達すると、変位の合計はゼロになりますが、それは移動していないという意味ではありません。この場合、距離という用語を使用します。距離は、オブジェクトが移動したパスによって異なります。ここで円運動の場合、変位はゼロになりますが、移動距離は 2πr になり、r は半径になります。
時間
時間は、一連の存在と出来事の方向を定義する量です。その方向はエントロピーの変化によって与えられます。時間はエントロピーが増加する方向に進みます。
時間の概念は、運動の他の変数を見つけるために使用されます。位置ベクトルを時間で割ると速度になり、さらに割ると加速度になります。ニュートン力学によれば、時間は絶対であり、どこでも同じです。
注:アインシュタインの一般相対性理論によれば、時間は絶対的なものではなく、時間と空間は時空と呼ばれるものの 1 つです。時間は、選択した参照フレームによって異なります。
速度
速度は、座標系に対する位置ベクトルの変化率として定義できます。ベクトル量です。たとえば、位置ベクトルが r で与えられる物体がある場合、それを時間で割ることによって速度の値を得ることができます。
したがって、v =r/t
しかし、この式は、r の変化率が時間的に一定である場合にのみ使用できます。 r の変化率が時間的に一定でない場合、次式で与えられる速度の瞬時値を使用します。
v =dr/dt
ここで、位置ベクトルは時間で微分されます。
ここで、r =xi + yj + zk とします
速度は、v =(dx/dt)i + (dy/dt) で与えられます。 j + (dz/dt)k
では、このベクトル量の大きさを引き出してみましょう。
v =((dx/dt)2 + (dy/dt)2 + (dz/dt) )2)1/2
この量は、体の速度と呼ばれます。これはスカラー量です。
注:平均速度の値を見つけたい場合は、ある期間の総変位を見つけて、その期間を割ります。
円運動の例として、次の式で与えられる別の速度方程式を使用します
v =(dr/dt)r + r(dθ/dt)θ
ここで、r と θ は極形式の位置座標です。
速度の値を使用して、モーメントと呼ばれる別の量を定義できます。これは、速度に物体の質量を掛けて得られます。ハミルトニアンおよびラグランジュ ダイナミクスでは、運動量を運動の変数として使用することがあります。
ここで、この速度の値は常に一定であるとは限りません。したがって、速度の変化率によって、加速度と呼ばれる量が生じます。
加速
加速度は、時間における速度の変化率として定義できます。ベクトル量です。
加速度はデカルト座標系で次のように表すことができます
a =(d2x/dt2)i + (d2y/dt2)j + (d2z/dt2) k
これにより、加速度の瞬間的な値が得られます。平均加速度の値を見つけるために、ある期間の速度の変化を見つけ、それをその期間で割ります。これは、a =(vf – vi)/Δt
で与えられます。円運動を伴う場合、極座標を使用して加速度の値を見つけます。これは、
によって与えられます。a =(d2r/dt2 – r(dθ/dt)2)r + (2(dr/dt)(dθ/dt) + r(d2θ/dt2))θ
加速度に物体の質量を掛けると、ニュートンの第 2 法則に従って力が得られます。
注:ここに示すすべての変数は、慣性座標系で測定されます。基準フレームが加速する場合、疑似力とそのダイナミクスを説明するために、上記のすべての方程式を修正する必要があります。
結論
運動変数は、運動方程式を表すために使用される変数です。それらは、位置、時間、速度、および加速度です。運動方程式に位置と運動量を使用することがあります。座標系を使用して位置を表します。位置座標の変化率がわかれば速度が得られ、速度の変化率がわかれば加速度が得られます。
