NANDゲート

NAND ゲートは、「AND」ゲートと「NOT」(N) ゲートをカスケード接続することで実装できます。 NAND ゲートには 2 つ以上の入力がある場合があります。ただし、出力は 1 つだけです。これは、否定 AND ゲートと呼ばれることもあります。

NAND ゲートの式は次のように記述できます。 ブール代数では、AND などのすべての基本ゲートの実装に使用できるため、NAND ゲートはユニバーサル ゲートと見なされます。 、OR および NOT。また、他のユニバーサル ゲートである NOR の実装にも使用できます。 NAND ゲートのこの特性は、機能の完全性とも言えます。

真理値表

2 入力 NAND の真理値表:

真理値表から、入力の少なくとも 1 つが偽 (0) の場合、出力が真 (1) であることがわかります。すべての入力が真 (1) の場合、出力は偽 (0) になります。

3 入力 NAND ゲートの真理値表は次のように表すことができます:

この表でも、入力の少なくとも 1 つが偽 (0) の場合、出力は常に真 (1) になることがわかります。すべての入力が真 (1) の場合、出力は偽 (0) になります。

回路図

NAND ゲートは、次のように AND ゲートと NOT ゲートをカスケード接続することによって取得できます。

上の図から、AND ゲートの出力が反転されていることがわかります。別の NOT ゲートを追加する代わりに、AND ゲートの出力にバブルを追加するだけです。バブルは、出力での反転を示します。したがって、NAND ゲートの回路記号は次のようになります。

ド・モルガンの第一法則によれば、 この定理から、 は、 したがって、 次のように説明できます:

NOT ゲートを使用する代わりに、次のように反転を示すバブルを入力に使用できます:

したがって、NAND ゲートとバブルド OR ゲートは等価であると言えます。

ユニバーサル ゲート

NAND ゲートを使用して、NOT ゲート、AND ゲート、OR ゲート、NOR ゲート、Ex-OR および Ex-NOR ゲートを実装できます。

NOT ゲートの実装

NAND ゲートを使用して NOT ゲートを実装するには、NAND ゲートの入力を結合します。つまり、2 つの同じ入力を与えます。出力式は次のようになります:

[べき等の法則の使用 ]NAND を使用しない実装は、次のように説明できます。

AND ゲートの実装

AND ゲートを実装するには、NAND ゲートの出力を反転します。出力式は次のようになります:

[二重反転の性質を利用して NAND を使用した AND の実装は、次のように説明できます。

最初の NAND ゲートの出力が反転されて AND ゲートが得られることがわかります。反転は、NAND ゲートを使用して実装された NOT ゲートを使用して行われます。

OR ゲートの実装

OR ゲートを実装するには、NAND ゲートの入力を反転します。出力式は次のようになります:

[ド・モルガンの法則を利用して ] [二重反転の性質を利用して NAND を使用した OR の実装は、次のように説明できます。

右側の NAND ゲートへの 2 つの入力が反転され、OR ゲートが得られることがわかります。

NOR ゲートの実装

NOR ゲートを実装するには、NAND ゲートの入力と出力を反転します。出力式は次のようになります:

[ド・モルガンの法則を利用して [二重反転の性質を利用して NAND を使用した NOR の実装は、次のように説明できます。

Ex-OR ゲートの実装

NAND を使用した Ex – OR の実装は、次のように説明できます。

上の図からの出力式は次のように表すことができます:

[ド・モルガンの法則を利用して ]

[二重反転の性質を利用して ]

[吸収法を利用する] ]

同様に

[ド・モルガンの法則を利用して ]

[二重反転の性質を利用して ]

[吸収法を利用する] ]

最後に、

[Y と Z の値を代入]

[ド・モルガンの第一法則を利用して ]

[ド・モルガンの第二法則を利用して ]

[二重反転の性質を利用して ]

Ex-NOR ゲートの実装

NAND を使用した Ex – NOR の実装は、次のように説明できます。

上の図からの出力式は、次のように表すことができます:

[べき等の法則の使用 ]

同様に

[べき等の法則の使用 ]

さて、

[Y と Z の値を代入]

[第一次ド・モルガン法則を利用して ]

[二重反転の性質を利用して ]

最後に、

[X と P の値を代入]

[第一ド・モルガン法則を利用して ]

[二重反転の性質を利用して ]

[ド・モルガンの第二法則を利用して

結論

NAND ゲートは、「NOT」(N) ゲートと「AND」ゲートの組み合わせから得られます。 NANDゲートの出力は、次のように表すことができます。 少なくとも 1 つの入力が false (0) の場合、出力は常に true (1) になります。すべての入力が真 (1) の場合、出力は偽 (0) になります。

NAND ゲートは、出力にバブルまたは反転がある AND ゲートを使用して表すことができます。 NAND ゲートは汎用ゲートです。つまり、NOR、XOR、および EXOR ゲートだけでなく、他の基本ゲートの実装にも使用できます。