固有値の性質に入る前に、固有値の概要を見てみましょう。
固有値は、線形代数と行列理論の主題で頻繁に導入されます。ただし、以前は、二次形式と微分方程式の研究に使用されていました。
固有値と固有ベクトルは、行列に焦点を当てた線形代数コースの学生に定期的に紹介されます。したがって、固有値を理解するには、まず行列とは何かを理解する必要があります。
マトリックスとは
単純化された行列は、変換と呼ぶことができます。座標系をある座標系から別の座標系に変換します。
マトリックスには、要素を含む列と行があります。行列は線形代数の主要部分であり、線形方程式と変換の研究に役立ちます。
行列は、テンソルと呼ばれるより大きな概念の一部であり、アインシュタインの場の方程式など、理論物理学で広く使用されています。
行列は、機械学習に関連する問題で使用され、主要な情報セットを表します。固有ベクトルと固有値は、主に、より大きな行列を表すために 1 つの値を持つ 1 つのベクトルを設定することに関するものです。
固有値を理解しよう
固有値プロパティの意味を理解するために、まず固有値について学びましょう。固有値は、線形方程式系に関連付けられた特別なスカラー セットであることが知られています。主に行列方程式に使用します。
Eigenという言葉はドイツ語に由来し、特徴的または適切を意味します。したがって、固有値を特性根、特性値、固有値とも呼びます。簡単に説明すると、固有ベクトルを変換するために使用されるスカラーです。
固有値方程式は次のとおりです。
Ax =λx
ここで、λ は A の固有値であるスカラー値です
数学では、固有ベクトルは、変換によって引き伸ばされた方向を指すゼロ以外の実固有値と相関します。固有値は、ストレッチが発生した要因として扱われます。固有値が負の値を持つシナリオでは、変換の方向も負になります。各実数行列には、固有値が存在します。
さらに、固有値の存在は、複素行列の場合の代数学の基本定理と同じです。
重要な固有値の特性
いくつかの重要な固有値プロパティを次に示します。
- エルミート行列と実対称行列の固有値は実数です。
- 実歪対称/歪エルミート行列の場合、固有値は 0 または完全に虚数になる傾向があります。
- 固有値は単位係数 |λ| です。 =直交/ユニタリ行列の場合は 1。
- λ1、λ2…λn が「A」の固有値として定義されている場合、kA の固有値は kλ1、kλ2…kλn として定義されます。
- λ1、λ2…λn が A の固有値と呼ばれる場合、1/λ1、1/λ2…1/λn は A-1 の固有値を表します。
- λ1、λ2…λn が A の固有値を表す場合、λ1k、λ2k…λnk は Ak の固有値になります。
- 転置 AT の固有値は、A の固有値と同等です。
- 行列 A の対角要素の合計またはトレースは、固有値の合計に相当します。
- |あ|固有値の積を表します。
- 行列 A のサイズは、A の異なる固有値の最大数に相当します。
- A と B が同じ順序を持つ 2 つの異なる行列を表すシナリオでは、行列 AB の固有値は行列 BA の固有値と等価です。
固有値の特性をよく理解することは、関連する問題をよりうまく解決するのに役立ちます。
結論
固有ベクトルと固有値は、大きな行列の簡潔な要約を提供するものと考えてください。
固有値と固有ベクトルは、データの複雑さを単純化するために使用されます。どちらも、計算が複雑なタスクの効率を向上させるのに役立ちます。
固有値と固有ベクトルは、数学と計算の基礎を形成します。固有ベクトルと固有値の理論的および実用的なアプリケーションの主な可能性は、コンピューティング サイエンスでさらに大きくなり、大規模な行列のそれぞれの計算が可能になります。これにより、理論研究と応用研究に新たな展望が生まれます。
