数学の一分野である組合せ論は、可算かつ有限な離散オブジェクトの研究のみに焦点を当てています。組み合わせ論は、統計物理学、コンピューター サイエンス、最適化でも使用できます。一般に、考えられる各結果をちらりと見るだけで、イベントから発生する可能性のある出力の数を数えることは可能ですが、この方法は、多数の結果を処理する場合には効果がありません。ここで、カウントの原則が使用されます。
A1、A2、および A3 の 3 つのオプションを持つ選択肢 A と、B1 および B2 の 2 つのオプションのみを持つ選択肢 B が与えられた状況を考えてみましょう。最初にオプション A から選択し、次にオプション B から選択する必要がある場合、可能な結果の総数は 3 x 2 =6 になります。したがって、結果の総数は A1 B2、A2 B1、A2 B2、A3 B1、A3 です。 B2.
これら 6 つの結果に到達するための意思決定ツリーを作成することで、カウントの基本原則を使用できます。デシジョン ツリーは基本的に、実験のすべての段階で考えられる結果をモデル化するグラフです。決定木を作成するには、まず、行う決定の数を決定する必要があります。上記の例では、可能な決定は 2 つだけです。
<オール>次のステップでは、最初の選択肢から生じる可能性のある可能性 (この場合は 3 つ) と、2 番目の選択肢から生じる可能性のある可能性の数 (この場合は2。したがって、基本的な数え方の原則に従って、これら 2 つの数を乗算して、状況から生じる可能性のある結果の最終的な合計数を取得する必要があります。
順列と組み合わせの式
特定の数のオブジェクトが提供され、一部またはすべてのオプションを選択するように求められ、これを行う方法の数を知る必要がある場合、カウントの別のタイプの状況が発生する可能性があります。たとえば、教師が 30 人の生徒を 5 人ずつのグループに分けてプレゼンテーションを行うクラスを持っているとします。ここで、教師はそれが起こり得る方法の数を知りたがっています。この状況は、組み合わせ式と順列式で解決できます。ただし、順列と組み合わせの唯一の違いは、オブジェクトを選択する順序が重要かどうかにあります。したがって、カウントの基本原則の重要性は否定できません。
教師がプレゼンテーションを作成するグループを選択しようとしている場合、ここでは順序は関係ないため、組み合わせの問題になります。
教師が科学展示大会で 1 位、2 位、3 位の保持者を選ぶ必要がある場合、ここでは順序は関係ないため、順列の問題になります。
階乗記号「！」その整数自体を含む各自然数を乗算するために使用されます。したがって、5！ 5、4、3、2、1 になります。この階乗記号は、順列や組み合わせの数式で一般的に使用されます。
順列と組み合わせの概念を使用して、いくつかの式を使用できます。
ただし、2 つの主な式があります。
順列の公式:順列とは、n 個のオブジェクトのセットから選択された "r" 個のオブジェクトの選択を指し、繰り返しがなく、順序が重要である必要があります。
nPr =( n ! ) / (n – r ) !
組み合わせの公式：組み合わせは、「n」個のオブジェクトのグループから「r」個のオブジェクトの選択に繰り返しがない場合です。この場合、順序は関係ありません。
nCr =nPr / r ! =n ! / r ! (n – r) !
順列と組み合わせの公式に基づいて解決された問題
5 人しか乗れない車に 4 人の友人と一緒に旅行に行く場合、あなたが運転している場合、各人が車に座ることができるさまざまな方法の合計はいくつですか?
解決。このような状況では、基本的なカウントの原則が非常に役立ちます。同じ人が一貫して運転席を占有するため、助手席には 4 つの選択肢しかありません。その人が助手席に着席すると、次の空いている席には 3 つの選択肢しか残されていません。これと同じプロセスが、残りの 1 人だけが 1 席になるまで続きます。
したがって、1. 4. 3. 2. 1. =24.
ドライバーが同じ場合、各人が車両に座ることができるさまざまな方法の総数は 24 です。
結論
組み合わせ論は、可算かつ有限の離散オブジェクトの研究です。組み合わせ論は、統計物理学、コンピューター サイエンス、最適化でも使用できます。順列とは、n 個のオブジェクトのセットから選択された「r」個のオブジェクトの選択であり、繰り返しがなく、順序が重要である必要があります。組み合わせは、「n」個のオブジェクトのグループからの「r」個のオブジェクトの選択に繰り返しがない場合です。この場合、順序は関係ありません。
