行列は、主に線形方程式を分析するために使用される基本的な数学用語です。たとえば、式 A = aij は、行列の i 番目の行と j 番目の列の要素を示します。行列を理解すれば、随伴行列と逆行列を理解するのは簡単です。
行列には行と列があります。一般的な用語で行列を説明する場合、行数と列数の表現は、「m x n」または「m」×「n」で表されます。ここで、m は行の数を表し、「n」は列の数を表します。
随伴行列の意味
利用可能な最も単純な方法の 1 つである随伴法を使用して、逆行列を簡単に計算できます。行列 A =[aij]nxn の随伴は、行列 [Aij]nxn の転置であり、Aij は値 aij の余因子です。 Adj A 記号は、行列 A の隣接を表します。
行列の随伴を理解するには、まず、行列とその補因子の転置として知られる別の概念の意味を理解する必要があります。行列の転置には、行要素と列要素、および列要素と行要素の交換が含まれます。これは AT で表すことができます。
余因子は、行列から指定された要素の行と列を削除することによって得られる数値であり、単純な数値グリッドです。
逆行列
行列の逆行列は、与えられた行列を掛けると、行列の乗法単位を与える別の行列です。行列 A の場合、逆数は A – 1 であり、これら 2 つのパラメーターの積は A.A -1 =A -1 です。 A =I、ここで「I」は恒等行列です。可逆行列には非ゼロの行列式があり、逆行列が決定される場合もあります。
実数の場合を考えると、実数aの逆数はa-1なので、aにa-1をかけると1になります。実数の逆数は数値がゼロでない場合は反転
式の分母 |A| により、非ゼロの行列式が存在するためには、存在する必要があります。
具体的には |A| ≠ 0.
行列 A には次の逆行列式があり、次のように記述されます:
A-1 =adj(A)/|A|; |あ| ≠ 0.
ここで、A は正方行列です。
逆行列とその性質
以下は、逆行列のいくつかの重要な機能です:
- 正方行列の逆行列がある場合、存在するのはそれだけです。
- A と B が 2 つの同次可逆行列の場合、(AB) -1 =B -1 A -1.
- 行列式がゼロでない場合、正方行列 A の逆行列、つまり |A| があります。 ≠ 0.
- 行または列の要素に他の行および列の補因子値を掛けると、結果はゼロになります。
- 2 つの行列の積 (乗算) は、2 つの独立した行列の行列式の積 |AB| と同じ行列式を持ちます。 =|A|.|B|
随伴行列を使用して逆行列を求める方法
行列 A の逆行列は、A-1 =(1/|A|) x Adj A です。
行列を見る前に、それが非特異で可逆かどうかを確認する必要があります。これは、|A| を意味します。 ≠ 0.
次の手順では、逆行列を計算する方法を示します:
- ステップ 1
プロセスでマトリックス A の各要素の未成年者を特定します。 - ステップ 2
すべての成分の補因子を計算し、A の要素を行列内の補因子に置き換えて補因子行列を作成します。 - ステップ 3
A の補因子行列を転置して、その随伴行列問題 (adj A) を決定します。 - ステップ 4
行列式の逆数に Adj A を掛けます。
随伴行列と逆行列の数学的定理
- 定理 1:
A が正方行列の n 次の場合、A Adj(A) =Adj(A) A =|A|I であり、'I' は n 次単位行列です。 - 定理 2:
A と B が順序付けられた非特異行列である場合、AB と BA も同様に順序付けられた非特異行列です。 - 定理 3:
A と B は、行列式が同じ 2 つの正方行列の積です。したがって|AB| =|A||B|は、それぞれ A および B と同じ順序で結果として得られる 2 つの行列の行列式です。
- 定理 4:
正方行列では、A が非特異行列である場合にのみ可逆です。
結論
マトリックスという用語は、列と行で編成されたオブジェクトの特定のグループを指します。これらのオブジェクトは、行列要素と呼ばれます。行列の順序は、行数に列数を掛けたものとして表されます。逆行列は、行と列が等しい正方行列に対してのみ見つけることができます。指定した行列の随伴を指定した行列の行列式で割り、逆行列を計算します。逆行列を決定するときは、行列式の値が 0 に等しくない正則正方行列を使用することが重要です。
提供された行列要素の副因子と補因子を決定することは、逆行列を見つけるための基本的なアプローチの 1 つです。たとえば、行列 A の逆行列は、随伴行列の式を使用して行列式で随伴を除算することによって導出できます。
