ヌッセルト数:対流熱伝達の理解

ヌッセルト数は、システムのサイズに関係なく、対流熱伝達を記述する無次元の類似性パラメーターです。

はじめに

対流熱伝達は、固体表面と流れる流体の間の熱伝達を表します。固体壁と流れる流体の間の温度差が大きければ大きいほど、伝達される熱流も大きくなります。温度差と熱流束の関係は、いわゆる熱伝達係数 α によって定量化されます。

\begin{整列}
\label{qq}
&\boxed{\dot q_\alpha =\alpha \cdot (T_w-\overline{T_f})} ~~~~~\text{対流熱伝達} \\[5px]
\end{整列}

この式では、q* は壁での熱流束を表し、Tf は流れる流体の温度、Tw は壁の温度を表します。パイプの流れの場合、流体温度は断熱混合温度を指します。 つまり、流体が対象の点で理想的に混合される温度になります。 フリーフローで (ラジエーターを通過する空気の流れなど)、流体温度はフリーストリームの温度を指します。 つまり、壁から十分に大きな距離 (Tf=Tf,∞) にあります。

流れる流体と固体壁の間の境界層の重要性については、熱伝達率に関する記事ですでに詳しく説明しました。このため、ここでは簡単にのみ説明します。いわゆる滑り止め状態のため。 、流体は壁に直接付着します (これは完全に発達した流れにのみ当てはまります!)。したがって、この時点での壁と流体間の熱輸送は熱伝導によってのみ可能です。フーリエの法則によれば、流体内の温度勾配は熱流に決定的な影響を与えます。温度勾配が大きいほど、熱流または熱流束が高くなります。

\begin{整列}
\label{qw}
&\boxed{\dot{q_\lambda} =- \lambda_f \cdot \left(\frac{\text{d}T_f}{\text{d}y}\right)_\text{wall}} ~~~~~\text{フーリエの法則} \\[5px]
\end{整列}

流体の熱伝導率は λf で示され、項 dTF/dy|wall は壁における直接の流体の温度勾配を表します。 qλ*=qα*の条件により、熱伝達率αは以下の関係が得られます。壁が放出する熱量と同じ量の熱しか流体を通過できないため、壁での熱流束は同一である必要があることに注意してください。

\begin{整列}
&\alpha =\frac{\dot q_\alpha}{T_w-\overline{T_f}} \\[5px]
\label{杖}
&\boxed{\alpha =\frac{- \lambda_f \cdot \left(\frac{\text{d}T_f}{\text{d}y}\right)_\text{wall}}{T_w-\overline{T_f}}}\\[5px]
\end{整列}

静止している流体 (対流なし) と比較して、流れは流体内の温度場に決定的な影響を及ぼし、それが温度勾配、ひいては全体的な (対流) 熱伝達に影響を与えます。単純化された条件の下で、点 x で通過する流体に熱を伝達する、加熱された壁を考えます。流体の流れにより、流体に伝達された熱は比較的早く運び去られ、より冷たい流体が流入します。一方、流体が流れないと、いわば熱が蓄積され、流体は比較的強く加熱されます。

言い換えれば、加熱された壁の近くを流れる流体は、静止している流体よりも冷たくなります。したがって、対流により、流体内の温度は壁で直接より強く低下します。これは、フーリエの法則によれば、より大きな熱流を意味します。流れが乱流の場合、特に大きな温度勾配が得られるため、流体が混合し、熱がより速く壁から運び去られます。

ヌッセルト数の定義

先ほど説明したように、壁での直接の熱輸送はもっぱら熱伝導によって行われます。しかし、熱伝導は壁だけで起こるのではなく、流体全体内で起こります。流体が動くからといって熱伝導の仕組みがなくなるわけではありません。ただし、壁から離れると、対流による熱輸送が支配的になります。ただし、加熱された壁を使用した上記の例で示したように、温度場は流れによって変化するため、両方の熱伝達メカニズムがそれぞれに影響を与えます。

要約すると、対流は基本的に 2 つの熱伝達メカニズムに基づいていると言えます。

• 熱伝導 分子のランダムな分子運動による（流体が存在する壁付近で支配的）
• 熱対流 分子の規則的な分子運動による - バルク運動 (壁からの距離が遠いほど支配的)
• (熱放射は温度差が非常に高い場合にのみ影響を与えるため、無視されます)

両方のメカニズムを合わせて、 観察可能な対流による熱伝達を定義します。 、 これは巨視的に説明されます。 方程式 (\ref{qq}) によって表され、微視的に表現することもできます。 方程式 (\ref{qw}) によって計算されます。

実際間の比率 現在の対流熱伝達 (「α」) と純粋な架空 熱伝導 (「λf」) は、 無次元のヌッセルト数で与えられます。 「ぬ」:

\begin{整列}
\label{nu}
&\boxed{Nu:=\frac{\alpha}{\lambda_f}L} ~~~~~\text{ヌッセルト数} \\[5px]
\end{整列}

この式では、L はいわゆる特性長さを示します。 システムのサイズが熱伝達に及ぼす影響を説明します。パイプの場合、代表的な長さはパイプの直径に対応します。プレートでの対流熱伝達を考慮する場合、特性長さは流れ方向のプレートの長さに等しくなります。

ヌッセルト数は、純粋な熱伝導と比較した対流熱伝達の比率を表します。

この時点で、ヌッセルト数を対流と伝導の比として明確に解釈しようとすることがよくあります。特別な場合には、これは確かに可能かもしれません。しかし、ほとんどの場合、これは明確な理解に貢献するというよりも、さらなる混乱を招きます (私たちの意見では)。したがって、私たちは別のアプローチをとりたいと考えています。この目的のために、方程式 (\ref{wand}) に従って熱伝達係数を取得し、それをヌッセルト数 (\ref{nu}) の定義に代入します。

\begin{整列}
\require{キャンセル}
&Nu=\frac{\alpha}{\lambda_f}L \\[5px]
&Nu=\underbrace{\frac{- \cancel{\lambda_f} \cdot \left(\frac{\text{d}T_f}{\text{d}y}\right)_\text{wall}}{T_w-\overline{T_f}}}_{\alpha} \cdot \frac{L}{\cancel{\lambda_f}} \\[5px]
\label{ナッツ}
&\boxed{Nu=\color{red}{\frac{\left(\frac{\text{d}T_f}{\text{d}y}\right)_\text{wall}}{\overline{T_f}-T_w}} \cdot L} \\[5px]
\end{整列}

赤でマークされた用語は正規化された温度勾配に対応します。 壁で。したがって、ヌッセルト数は無次元の温度勾配の尺度として解釈できます。 壁に。そして、この温度勾配が大きいほど、熱流量も高くなります。後で、完全に発達したパイプの流れでは、この無次元の温度勾配が特定の境界条件の下で一定であることを示します。これはヌッセルト数にも当てはまります。

ヌッセルト数は、壁における流体の (無次元の) 温度勾配の尺度です。

実際におけるヌッセルト数の重要性

最初は奇妙に聞こえるかもしれませんが、ヌッセルト数は、相似という概念からのみその真の意味が得られます。なぜなら、異なるサイズの系で同じヌッセルト数が得られる場合にのみ、対流による同様の熱伝達が仮定できるからです。したがって、最初に小規模なモデル実験でヌッセルト数を決定し、次に得られたヌッセルト数をその特性長を使用して実際のシステムに適用することが可能です。

\begin{整列}
\label{アルファ}
&\boxed{\alpha =Nu \cdot \frac{\lambda_f}{L}} \\[5px]
\end{整列}

ヌッセルト数は、対流熱伝達を説明するための無次元の類似性パラメーターです。システムのサイズに関係なく、同一のヌッセルト数を使用する場合にのみ、物理的に同様の熱伝達が得られます。

メモ :熱伝達係数 α は常に具体的なアプリケーション (システムのサイズに応じて) を指しますが、ヌッセルト数「Nu」は、実際のアプリケーションやシステムのサイズに関係なく、一般に対流熱伝達を表します。

したがって、ヌッセルト数は、たとえば化学工学において非常に重要です。化学プロセスが実行されたり、プラントが実際の規模で建設されたりする前に、まず小規模な規模 (実験室やパイロット プラントなど) でテストまたは研究が行われます。後ほど現実で同じまたは類似の熱伝達を得るには、ヌッセルト数がすべてのスケールで同じでなければなりません。したがって、小規模なスケールでヌッセルト数を決定し、それを実際のスケールに適用します (スケールアップと呼ばれます)。 ).

対流熱伝達の場合、ヌッセルト数がモデルと実際のシステムの間のリンクとなります。

局所および平均ヌッセルト数

システム内の特定の点 x (パイプ内の特定の点など) でのみ熱伝達を記述したい場合は、局所ヌッセルト数についても話します。 。したがって、局所ヌッセルト数は局所熱伝達係数、 つまり局所熱流束を表します。 .

ただし、熱伝達はシステム全体またはより長いセクションに関係することもあります。パイプの流れの場合、これは、ヌッセルト数がパイプ内の特定の点を参​​照するのではなく、パイプ自体全体、または長さ l のより長いセクションを参照することを意味します。この文脈では、平均ヌッセルト数について話します。 、平均熱伝達率を示します。この場合、パイプ全体の平均熱流束が得られます。したがって、平均ヌッセルト数は、局所的なヌッセルト数を統合することによって取得されます。

記事「ヌッセルト数の計算」では、プレート上およびパイプを通過する流れの局所および平均ヌッセルト数の計算について詳しく説明します。

パイプの流れにおける無次元温度とヌッセルト数

パイプ内の温度プロファイルを記述する際の基本的な「問題」は、プロファイルがパイプに沿って変化することです。結局のところ、等温加熱されたパイプ内では、熱が流体に永続的に伝達され、その結果流体が加熱されます。これは、パイプの軸 (Tf) から距離 r にある流体内の点と壁 (Tw) の間の温度差は、r と位置 x の関数であることを意味します。

\begin{整列}
&f(x,r) =T_f-T_w \\[5px]
\end{整列}

ただし、この関数が考慮された位置 x (Tf) での混合温度と一定の壁温度 Tw の間の温度差に関連している場合、 得られる無次元流体温度は次のようになります。 熱的および流体力学的に完全に発達した流れの場合、θf はパイプ内の位置には依存しません。境界層の厚さが変化しなくなったとき、流れは完全に発達したとみなされます。

\begin{整列}
&\boxed{\theta_f:=\frac{T_f-T_w}{\overline{T_f}-T_w}} ~~~~~\text{無次元流体温度}\\[5px]
\end{整列}

完全に発達したフローとは、境界層の厚さが変化しないフローのことです。

この式では壁温度 Tw は定数ですが、流体温度 Tf は r と x の両方に依存することに注意してください。ただし、混合温度は位置 x の関数にすぎません。

\begin{整列}
&\theta_f(r) =\frac{T_f(r,x)-T_w}{\overline{T_f}(x)-T_w} \\[5px]
\end{整列}

したがって、分母と同様に分数の分子にも x の依存関係があります。商により、x の依存性がいわば相殺され、最終的に項全体が x の関数ではなくなります。ただし、複雑なため、これが実際に当てはまることを証明するつもりはありません。ただし、この仮定の下では、ヌッセルト数は x からも独立している (つまり、熱伝達係数も独立している) ことを示したいと思います。

この目的のために、無次元の温度勾配は、r に関して上記の方程式を導出することで決定されます (偏導関数)。 ）。青でマークされた項は r の関数ではないため、定数とみなされることに注意してください。さらに、壁温度は定数であるため、r に関する壁温度 Tw の導関数はゼロです。

\begin{整列}
&\frac{\text{d} \theta_F(r)}{\text{d}r}=\color{blue}{\frac{1}{\overline{T_f}(x)-T_w}} \cdot \frac{\text{d}\left[T_f(r,x)-T_w\right]}{\text{d}r} \\[5px]
&\frac{\text{d} \theta_f(r)}{\text{d}r}=\color{blue}{\frac{1}{\overline{T_f}(x)-T_w}} \cdot \left[\frac{\text{d}T_f(r,x)}{\text{d}r} – \underbrace{\frac{\text{d}(T_w)}{\text{d}r}}_{=0} \right]\\[5px]
&\frac{\text{d} \theta_f(r)}{\text{d}r}=\color{blue}{\frac{1}{\overline{T_f}(x)-T_w}} \cdot \frac{\text{d}T_f(r,x)}{\text{d}r}\\[5px]
\end{整列}

したがって、次の公式は壁での無次元温度勾配に適用されます。

\begin{整列}
&\left(\frac{\text{d} \theta_f(r)}{\text{d}r}\right)_\text{wall}=\frac{\left(\frac{\text{d}T_f(r,x)}{\text{d}r}\right)_\text{wall}}{\overline{T_f}(x)-T_w} \\[5px]
\end{整列}

この時点では変数の指定を省略しましょう。

\begin{整列}
&\left(\frac{\text{d} \theta_f}{\text{d}r}\right)_\text{wall}=\color{red}{\frac{\left(\frac{\text{d}T_f}{\text{d}r}\right)_\text{wall}}{\overline{T_f}-T_w}} \neq f(x)\\[5px]
\end{整列}

この場合、この方程式の右側の式が方程式 (\ref{nutint}) の赤でマークされた項に対応していることがすぐにわかります (この場合、変数 y は半径 r に、特性 L はパイプの内径 d に対応します)。ただし、この方程式の左側が示すように、この項は x に依存しないため、ヌッセルト数は x の関数ではありません。

\begin{整列}
&\boxed{Nu=\left(\frac{\text{d} \theta_f}{\text{d}r}\right)_\text{wall} \cdot d} \neq Nu(x)\\[5px]
\end{整列}

無次元温度プロファイル、ヌッセルト数、および熱伝達係数は、次の条件下でのみ位置 x に依存しないことに注意してください。

• 熱的および流体力学的に完全に開発された層流プロファイル (ハーゲン ポワズイユ流も参照)
• 一定の壁温度または壁での一定の熱流束

パイプが長いほど、パイプの流れが十分に発達した状態がより良く満たされます。したがって、ヌッセルト数は長いパイプの限界に近づく傾向があります。この漸近線は数値的手法によって決定できます。境界条件に応じて、局所または平均ヌッセルト数の漸近線は次のようになります。

\begin{整列}
\ラベル{366}
&\boxed{Nu_{\infty}=3,660} &&~~~\text{一定の壁温度の場合}\\[5px]
\label{4364}
&\boxed{Nu_{\infty}=4,364} &&~~~\text{壁での一定の熱流束の場合}\\[5px]
\end{整列}

理論的には、完全に発達した流れプロファイルは、非常に長いパイプ、またはパイプの先頭から十分に長い距離にある場合にのみ存在することに注意してください。したがって、局所ヌッセルト数は一般に x に依存し、平均ヌッセルト数はパイプの長さ l に依存します。これらのヌッセルト数の計算の詳細については、記事「ヌッセルト数の計算」を参照してください。