流線上の流体運動:方程式の導出

この記事では、流線上の流体要素とそれに垂直な流体要素の運動方程式を導出します。

はじめに

以下では、平面、層流 (2 次元の流れ) の流線上の流体要素の運動方程式を導出します。たとえば、湾曲した深い水路を上から見た流れを想像できます。流線の方向に延びる地表面に平行な水平面内に固定座標系 s を定義します。流線の曲率半径は rc で示されます。

流体要素は、半径方向の幅 dr と流線方向の長さ ds を持ちます。流線方向の圧力勾配は ∂p/∂s<0、半径方向の圧力勾配は ∂p/∂r>0 です。体積 dV の流体要素は、流線上を速度 c で移動します。

流線方向の流体要素の運動方程式

大幅な加速

まず、流線方向のみの流体要素の動力学を考慮します。定義により、流体要素は流線に接線方向の速度 c で移動します。ただし、非定常流れの場合、流速 c は場所によって異なるだけでなく、固定された場所 (たとえば、流れが「開始」するとき) で時間の経過とともに変化するため、流体要素の加速度は基本的に 2 つの部分で構成されます。

最初の部分は、固定位置での速度の時間変化はすべて加速度を表すという事実から生じます。これは、流体要素の速度が固定位置で変化する場合、これはそれぞれの加速度の結果としてのみ考えられることを意味します。 2 番目の部分は、速度が固定された場所で時間とともに変化するだけでなく、特定の時点で場所ごとに異なるという事実によるものです。これは、流体要素の位置が変化したときに、いわば新しい流速まで加速する必要があることを意味します。両方の部分を合わせて、 いわゆる大幅な加速を表します。 、つまり、流体要素全体に実際に作用する加速度 (物質加速度とも呼ばれます) ).

したがって、速度 dc の実質的な変化は、時間 dt 内の速度の時間的変化 ∂c/∂t と、距離 ds 内の速度の空間的変化 ∂c/∂s (勾配) によって得られます。

\begin{整列}
&\underbrace{\text{d}c}_{\text{大幅な変化}} =\underbrace{\frac{\partial c}{\partial t} \text{d}t}_{\text{局所的な変化}} + \underbrace{\frac{\partial c}{\partial s} \text{d}s}_{\text{対流変化}}\\[5px]
\end{整列}

この式を時間 dt で割ると、流線の接線方向の実質的な加速度を表す次の式が得られます。

\begin{整列}
&a_t =\frac{\text{d}c}{\text{d}t} =\frac{\partial c}{\partial t} + \frac{\partial c}{\partial s} \underbrace{\frac{\text{d}s}{\text{d}t}}_{c}\\[5px]
&\underline{a_t =\frac{\partial c}{\partial t} + c\frac{\partial c}{\partial s}} \\[5px]
\end{整列}

対流加速の項は流速に依存することに注意してください。これは、流体要素が非常に速く流れる場合、一定時間内に比較的長い距離を移動することからも明らかです。与えられた速度勾配 ∂c/∂s の場合、これはそれに対応して大きな速度変化、つまり大きな加速度を意味します。

したがって、次の加速接線力 Ft は、考慮されている質量 dm の流体要素に流線方向に作用します。これにより、質量は流体要素の体積 dV と密度 ϱ で表すことができます。

\begin{整列}
\label{t}
&\boxed{F_t =\text{d}m \cdot a_t =\text{d}V \cdot \rho \cdot \left( \frac{\partial c}{\partial t} + c\frac{\partial c}{\partial s}\right)} ~~~~~\text{加速接線力} \\[5px]
\end{整列}

圧力の力

上の式は、速度の局所的および時間的変化が加速度に及ぼす影響 (運動学) のみを記述しており、この加速の原因 (運動学) については記述していません。加速力の原因は流体要素に作用する力です。したがって、流体要素に作用する力を詳しく調べてバランスを取る必要があります。ここでも、流線方向の動きまたは力のみを考慮します。

流体要素の端面には、流線に沿って減少する圧力が作用するため、力が作用します。そもそも流れを動かすのは圧力勾配 ∂p/∂s<0 の減少であるため、流体粒子は圧力が減少する方向にしか移動できないことに注意してください。したがって、圧力 p が左端側 dAs に作用すると、右端側 (距離 ds 以上) では、p+∂p/∂s⋅ds だけ低い圧力が存在します。

\begin{整列}
&\underline{F_{p1} =p \cdot \text{d}A_s} \\[5px]
&\underline{F_{p2} =\left(p+\frac{\partial p}{\partial s}\cdot \text{d}s \right) \cdot \text{d}A_s} \\[5px]
\end{整列}

流体要素 Fp に作用する合成圧力は、最終的に 2 つの力の差から生じます。

\begin{整列}
\require{キャンセル}
F_p &=F_{p1} – F_{p2} \\[5px]
&=p \cdot \text{d}A_s – \left(p+\frac{\partial p}{\partial s}\cdot \text{d}s \right) \cdot \text{d}A_s \\[5px]
&=\cancel{p \cdot \text{d}A_s} – \cancel{p \cdot \text{d}A_s} – \frac{\partial p}{\partial s}\cdot \underbrace{\text{d}s \cdot \text{d}A_s}_{\text{d}V} \\[5px]
\end{整列}

\begin{整列}
\boxed{F_p =– \frac{\partial p}{\partial s}\cdot \text{d}V}~~~~~\text{合成圧力} \\[5px]
\end{整列}

摩擦力

さらに、流体の動粘度ηにより側面には摩擦力が作用します。これらは、流体のニュートンの摩擦の法則を使用して決定できます。

\begin{整列}
\ラベル{n}
&\tau=\eta \cdot \frac{\partial c}{\partial r} \\[5px]
\end{整列}

この式において、τ は表面に作用するせん断応力を示し、半径方向の速度勾配 ∂c/∂r に比例します。この速度勾配は、流線に垂直な速度の空間変化を表します。ただし、流体要素の幅 dr にわたって、この速度勾配は一般に変化します。したがって、異なるせん断応力が両側に作用します。

∂τ/∂r が半径方向のせん断応力の変化 (せん断応力勾配) を表す場合、dr の流体要素の特定の幅に対して、せん断応力は量 ∂τ/∂r⋅dr だけ変化します。したがって、横方向に作用するせん断力については、次の公式が適用されます。

\begin{整列}
&F_{f1} =\tau \cdot \text{d}A_r \\[5px]
&F_{f2} =\left(\tau+ \frac{\partial \tau}{\partial r}\text{d}r\right) \cdot \text{d}A_r \\[5px]
\end{整列}

横方向に作用する力は異なる方向を向いていることに注意してください。半径方向に流速が増加すると仮定すると、流れ方向に見て右側の周囲の流体は流体要素よりも遅い速度で流れます。流体要素はいわば減速され、それに応じて力が流れの方向に向けられます。反対側の左側では、周囲の流体が流体要素よりも速く流れます。周囲の流体は、いわば流体要素を「引きずり」ようとするため、力は流れの方向に作用します。

この時点で、上の方程式で発生するせん断応力を式 (\ref{n}) に従ってニュートンの摩擦の法則で表すと、横方向に作用するせん断力 (摩擦力) について次の関係が得られます。

\begin{整列}
&\underline{F_{f1} =\eta \cdot \frac{\partial c}{\partial r} \cdot \text{d}A_r} \\[5px]
\end{整列}

\begin{整列}
F_{f2} &=\left(\eta \cdot \frac{\partial c}{\partial r}+ \frac{\partial}{\partial r}\left(\eta \cdot \frac{\partial c}{\partial r}\right) \text{d}r\right)\cdot \text{d}A_r \\[5px]
&=\left(\eta \cdot \frac{\partial c}{\partial r}+ \eta \cdot \frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{\partial c}{\partial r}\right) \text{d}r\right)\cdot \text{d}A_r \\[5px]
\end{整列}

\begin{整列}
&\underline{F_{f2}=\eta \left(\frac{\partial c}{\partial r}+ \frac{\partial^2 c}{\partial r^2}~\text{d}r\right) \cdot \text{d}A_r} \\[5px]
\end{整列}

流体要素にかかるすべての摩擦力が数学的に記述されるようになりました。平面流 (空間的に一定の速度) には垂直方向の速度勾配がないため、考慮した水平面 (つまり、流体要素の上側と下側) に垂直に作用する摩擦力がないことに注意してください。そして、速度勾配が存在しない場合、ニュートンの摩擦の法則によれば、摩擦は存在しません。これは、流体層の速度が垂直方向で同じである場合、これらの層は互いに相対的に移動しないため、摩擦力が発生したり、運動量の伝達が発生したりしないことからも明らかです。

流体要素に作用する合成摩擦力 Ff は、最終的には 2 つの対立する力の差から生じます。

\begin{整列}
\require{キャンセル}
F_{f} &=F_{f2} – F_{f1} \\[5px]
&=\eta \left(\frac{\partial c}{\partial r}+ \frac{\partial^2 c}{\partial r^2}~\text{d}r\right) \cdot \text{d}A_r – \eta \cdot \frac{\partial c}{\partial r} \cdot \text{d}A_r\\[5px]
&=\cancel{\eta \cdot \frac{\partial c}{\partial r}\cdot \text{d}A_r}+\eta \frac{\partial^2 c}{\partial r^2}~\underbrace{\text{d}r \cdot \text{d}A_r}_{\text{d}V}-\cancel{ \eta \cdot \frac{\partial c}{\partial r} \cdot \text{d}A_r}\\[5px]
\end{整列}

\begin{整列}
&\boxed{F_f=\eta \frac{\partial^2 c}{\partial r^2}~\text{d}V} ~~~~~\text{合成摩擦力}\\[5px]
\end{整列}

力のバランス

流体要素に作用する力の合計は、フェース側に作用する圧力 Fp と側面に作用する摩擦力 Ff からなり、式 (\ref{t}) に従って最終的に加速接線力に対応します。

\begin{整列}
\require{キャンセル}
&F_{t} =F_{f} + F_{p} \\[5px]
&\cancel{\text{d}V} \cdot \rho \cdot \left( \frac{\partial c}{\partial t} + c\frac{\partial c}{\partial s}\right) =\eta \frac{\partial^2 c}{\partial r^2}~\cancel{\text{d}V} – \frac{\partial p}{\partial s}\cdot \cancel{\text{d}V} \\[5px]
&\frac{\partial c}{\partial t} + c\frac{\partial c}{\partial s}=\underbrace{\frac{\eta}{\rho}}_{\nu} \frac{\partial^2 c}{\partial r^2} – \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial s} \\[5px]
&\boxed{\frac{\partial c}{\partial t} + c\frac{\partial c}{\partial s}=\nu \frac{\partial^2 c}{\partial r^2} – \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial s}} ~~~~~\text{水平面内の流線型方程式}\\[5px]
\end{整列}

流線方程式を導出する際には、動粘度と密度の商が動粘度 ν (小さなギリシャ文字 Nu) に対応することが使用されました。この方程式は、重力が流れの平面 (水平面) に対して垂直に作用する平面流れにのみ適用されることに注意してください。

ただし、流れを垂直面で考える場合は、流線の方向を指す重量力の成分も考慮する必要があります。流線方程式では、追加の項が発生します。

\begin{整列}
\label{オイラー}
&\boxed{\frac{\partial c}{\partial t} + c\frac{\partial c}{\partial s}=\nu \frac{\partial^2 c}{\partial r^2} – \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial s}-g\frac{\partial z}{\partial s}} ~~~~~\text{垂直方向の方程式を合理化平面}\\[5px]
\end{整列}

∂z/∂s の項は、最終的には垂直軸 (z 軸) と流線の方向との間の角度の正弦に対応します (∂z/∂s=sin(α))。したがって、上の方程式の項は g⋅sin(α) と書くこともできます。ここで、この項が流線方向の重量力の成分に対応していることが明らかになりました。

ただし、水平方向の流れの場合、流線方向の重量成分は明らかに存在しないため、この項は消えます。定義上、流速が時間とともに変化しない定常流を考慮すると、両方の方程式はさらに単純化されます。したがって、速度の時間導関数はゼロです:∂c/∂t=0 (局所加速なし、対流加速のみ)!

方程式 (\ref{euler}) は実際にはオイラー方程式の特殊なケースであり、粘性の項によって拡張されています。

流線に垂直な流体要素の運動方程式

このセクションでは、流体要素と流線に垂直に作用する力を考慮します。簡単にするために、定常流を想定します。湾曲した流線は、曲率半径 rc の円弧部分として見ることができます。このような円軌道を生じさせるには、半径方向に作用する力によって向心力 Fc が発生する必要があります。適用されるこの向心力の大きさは、流速 c、曲率半径 rc、および流体要素の質量 dm によって決まります。

\begin{整列}
&\boxed{F_c =\frac{\text{d}m \cdot c^2}{r_c}} ~~~~\text{適用される向心力} \\[5px]
\end{整列}

この時点で流体要素の面にかかる摩擦力を無視すると、向心力の原因は 1 つだけになります。流体要素の側面にかかる圧力が異なるため、半径方向に対して向心力が発生します。したがって、半径方向の圧力は流体要素の幅全体にわたって増加する必要があります。この半径方向の圧力勾配 ∂p/∂r が依存する量を以下に示します。

圧力は流線に垂直な半径方向に増加します。

圧力 p が流体要素の「内側」 (内側 ) に作用する場合、 曲線に関して)、特定の圧力勾配 ∂p/∂r>0 の場合、流体要素の「外側」では ∂p/∂r⋅dr だけ低い圧力が生じます。これにより、次のような半径方向の力が発生します。

\begin{整列}
&\underline{F_{ri} =p \cdot \text{d}A_r} \\[5px]
&\underline{F_{ro} =\left(p+\frac{\partial p}{\partial r}\cdot \text{d}r \right) \cdot \text{d}A_r} \\[5px]
\end{整列}

結果として生じる半径方向の圧力 Fr の大きさは、最終的に両方の力の差によって決まります。

\begin{整列}
\require{キャンセル}
F_r &=F_{ro} – F_{ri} \\[5px]
&=\left(p+\frac{\partial p}{\partial r}\cdot \text{d}r \right) \cdot \text{d}A_r – p \cdot \text{d}A_r \\[5px]
&=\cancel{p \cdot \text{d}A_r} + \frac{\partial p}{\partial r}\cdot \underbrace{\text{d}r \cdot \text{d}A_r}_{\text{d}V}- \cancel{p \cdot \text{d}A_r}\\[5px]
\end{整列}

\begin{整列}
\boxed{F_r =\frac{\partial p}{\partial r}\cdot \text{d}V}~~~~~\text{合成ラジアル力} \\[5px]
\end{整列}

この結果生じる半径方向の圧力が向心力の原因となります。両方の方程式を等しくすると、最終的に、流体の流れとその結果生じる半径方向の圧力勾配との間に次の関係が得られます。

\begin{整列}
&F_r =F_c \\[5px]
&\frac{\partial p}{\partial r}\cdot \text{d}V =\frac{\text{d}m \cdot c^2}{r_K} \\[5px]
&\frac{\partial p}{\partial r}=\frac{\overbrace{\frac{\text{d}m}{\text{d}V}}^{\rho} \cdot c^2}{r_K} \\[5px]
&\boxed{\frac{\partial p}{\partial r}=\frac{\rho \cdot c^2}{r_K}} \\[5px]
\end{整列}

流速が高く流体の密度が高く、流線の曲率半径が小さいほど、半径方向の圧力勾配は大きくなります。

ただし、上の方程式は、曲率半径が大きい場合、半径方向の圧力勾配がますます小さくなることも示しています。曲率半径が無限に大きい直線流線の場合、圧力勾配は無限に小さくなります。言い換えれば、直線の流線の場合、半径方向の圧力勾配はありません。

したがって、パイプ内の圧力測定は、常に直線の流線を持つ直線パイプ部分で実行する必要があります。このような場合、測定された圧力はパイプ周囲の圧力計の配置とは無関係です。一方、パイプの角度で圧力を測定する場合、圧力は曲率の中心からの距離、つまりパイプの円周上の位置に応じて変化します。