Brian Swingle は、マサチューセッツ工科大学で物質物理学を研究している大学院生でした。彼は、教育を締めくくるために弦理論のクラスを数回受講することにしました。彼は思い出しました — 最初は、それらのクラスで遭遇した概念にほとんど注意を払いませんでした.しかし、深く掘り下げていくと、いわゆるテンソル ネットワークを使用してエキゾチックな物質の特性を予測した自身の研究と、ブラック ホール物理学と量子重力に対する弦理論のアプローチとの間に予想外の類似性が見られるようになりました。 「何か重大なことが起こっていることに気づきました」と彼は言いました。
テンソルは物理学のいたるところで登場します — テンソルは、同時に複数の数値を表すことができる単純な数学的オブジェクトです。たとえば、速度ベクトルは単純なテンソルです。速度と運動方向の両方の値を取得します。ネットワークに結合されたより複雑なテンソルを使用して、物質を構成する膨大な数の亜原子粒子の複雑な相互作用を含む、相互作用する多くの異なる部分で構成される複雑なシステムの計算を簡素化できます。
Swingle は、テンソル ネットワークを宇宙論に適応させることに価値を見出す、ますます多くの物理学者の 1 人です。他の利点の中でも、時空自体の性質について進行中の議論を解決するのに役立つ可能性があります。パサデナにあるカリフォルニア工科大学の理論物理学のリチャード P. ファインマン教授であるジョン プレスキルによれば、多くの物理学者は、アルバート アインシュタインを非常に悩ませた「遠く離れた不気味な作用」である量子エンタングルメントと宇宙との間の深いつながりを疑っています。物理学者のジョン・ウィーラーが 60 年前に後者を泡立つ泡状の泡として最初に記述して以来、最小スケールでの時間幾何学。 「プランクスケールに匹敵するスケールで幾何学を調べると」、可能な限り最短距離で、「時空のようには見えなくなります」とプレスキルは言いました。 「もはや幾何学ではありません。それは何か別のものであり、より根本的なものから [生じる] 創発的なものです。」
物理学者は、このより基本的な図が何であるかという複雑な問題に取り組み続けていますが、それが量子情報に関連していることを強く疑っています。 「情報がエンコードされているということは、システムを複数のパーツに分割できるということです。パーツ間には相関関係があるため、別のパーツを観察することで 1 つのパーツについて何かを知ることができます」と Preskill 氏は言います。これがエンタングルメントの本質です。
時空の「ファブリック」について話すことは一般的です。これは、個々の糸を織り合わせて滑らかで連続した全体を形成するという概念を呼び起こす比喩です。そのスレッドは基本的に量子です。 「エンタングルメントは時空の構造です」と、現在スタンフォード大学の研究者であるスウィングルは言いました。 「システムを結びつけ、集合的な特性を個々の特性とは異なるものにするのは糸です。しかし、興味深い集団行動を実際に見るには、そのもつれがどのように分散されているかを理解する必要があります。」
テンソル ネットワークは、まさにそれを行うことができる数学的ツールを提供します。この見方では、時空は、複雑なネットワーク内の一連の相互接続されたノードから発生し、量子情報の個々の小片がレゴのように組み合わされています。もつれは、ネットワークをまとめる接着剤です。時空間を理解したい場合は、最初にエンタングルメントについて幾何学的に考える必要があります。エンタングルメントは、システム内の膨大な数の相互作用するノード間で情報がエンコードされる方法だからです。
多くのボディ、1 つのネットワーク
複雑な量子系をモデル化するのは簡単なことではありません。相互作用する部分が 3 つ以上ある従来のシステムの場合でも、これを行うのは困難です。アイザック・ニュートンが彼のプリンキピアを出版したとき 1687 年に、彼が調べた多くのトピックの 1 つは「三体問題」として知られるようになりました。相互の引力の影響を考慮して、地球と太陽などの 2 つのオブジェクトの動きを計算するのは比較的簡単なことです。ただし、月のような第 3 の天体を追加すると、正確な解を伴う比較的単純な問題が、本質的に混沌とした問題に変わります。長期的な予測には、システムの進化の近似をシミュレートする強力なコンピューターが必要です。一般に、システム内のオブジェクトが多いほど、計算が難しくなり、その難易度は直線的に、またはほぼ直線的に増加します — 少なくとも古典物理学では.
ここで、何十億もの原子からなる量子系を想像してみてください。原子はすべて、複雑な量子方程式に従って相互に作用します。そのスケールでは、システム内の粒子の数に応じて難易度が指数関数的に増加するように見えるため、計算に対する力ずくのアプローチは機能しません。
金の塊を考えてみましょう。それは何十億もの原子で構成されており、そのすべてが互いに相互作用しています。これらの相互作用から、色、強度、導電率など、金属のさまざまな古典的な特性が生まれます。 「原子は小さな量子力学的なものであり、原子を組み合わせると、新しい素晴らしいことが起こります」と Swingle 氏は述べています。しかし、このスケールでは、量子力学のルールが適用されます。物理学者は、システムの状態を表す金塊の波動関数を正確に計算する必要があります。そして、その波動関数は、指数関数的に複雑な多頭ヒドラです。
金の塊に 100 個の原子しかなく、それぞれが上向きまたは下向きの量子「スピン」を持っている場合でも、可能な状態の総数は 2、つまり 100 万兆兆になります。原子が追加されるたびに、問題は指数関数的に悪化します。 (さらに悪いことに、原子スピンに加えて何かを記述したい場合は、現実的なモデルならそうなります。) 「目に見える宇宙全体を取り、それを最高のストレージ材料で満たすと、お金で買える最高のハードドライブが、約 300 回のスピンの状態しか保存できませんでした」と Swingle 氏は述べています。 「ですから、この情報はありますが、すべてが物理的なものではありません。これらすべての数値を測定した人はいません。」
テンソル ネットワークを使用すると、物理学者は波動関数に含まれるすべての情報を圧縮し、物理学者が実験で測定できる特性のみに集中できます。たとえば、特定の材料が光をどれだけ曲げるか、音をどれだけ吸収するか、電気をどれだけうまく伝導するかなどです。 .テンソルは、ある数のコレクションを取り込み、別の数のコレクションを吐き出す一種の「ブラック ボックス」です。そのため、単純な波動関数 (それぞれが最低エネルギー状態にある多くの非相互作用電子の関数など) をプラグインし、プロセスが大きな波動関数を生成するまで、システムに対してテンソルを何度も実行することが可能です。 、金の塊の中で相互作用する何十億もの原子のような複雑なシステム。その結果、この複雑な金の塊を表す簡単な図が得られます。これは、物理学者が粒子の相互作用を表す方法を単純化した 20 世紀半ばのファインマン図の開発によく似た革新です。テンソル ネットワークには、時空のようにジオメトリがあります。
この単純化を実現するための鍵は、「局所性」と呼ばれる原則です。任意の電子は、最も近い隣接電子とのみ相互作用します。多くの電子のそれぞれが隣接する電子と絡み合うと、ネットワーク内に一連の「ノード」が生成されます。これらのノードはテンソルであり、エンタングルメントによってそれらがリンクされます。これらの相互接続されたすべてのノードがネットワークを構成します。したがって、複雑な計算が視覚化されやすくなります。場合によっては、はるかに単純なカウントの問題に還元されることさえあります.
テンソル ネットワークにはさまざまな種類がありますが、最も有用なものは頭字語 MERA (multiscale entanglement renormalization ansatz) で知られているものです。原理的には次のように動作します:1 次元の電子線を想像してください。 A、B、C、D、E、F、G、H と指定された 8 つの個々の電子を、量子情報の基本単位 (キュービット) に置き換え、最も近い隣接電子と絡み合わせてリンクを形成します。 A は B と絡み合い、C は D と絡み合い、E は F と絡み合い、G は H と絡み合います。これにより、ネットワーク内でより高いレベルが生成されます。次に、AB を CD に、EF を GH に絡ませて、ネットワークの次のレベルに到達します。最後に、ABCD は EFGH と絡み合って最上位層を形成します。 「ある意味では、もつれを利用して多体波動関数を構築していると言えます」と、ドイツのヨハネス グーテンベルク大学の物理学者 Román Orús は昨年の論文で述べています。
一部の物理学者は、テンソル ネットワーク、特に MERA が量子重力への道を明らかにする可能性に興奮しているのはなぜでしょうか?ネットワークは、多くのオブジェクト間の複雑な相互作用から単一の幾何学的構造がどのように出現するかを示しているためです。そして Swingle (とりわけ) は、量子情報の離散ビットから滑らかで連続的な時空が出現するメカニズムをどのように説明できるかを示すことで、この創発幾何学を利用したいと考えています。
時空の境界
凝縮系物理学者は、テンソル ネットワークを開発したときに、うっかり余分な次元を発見しました。この技術は、1 つの次元から 2 次元のシステムを生成します。一方、重力理論家は、ホログラフィック原理として知られるものの開発により、次元を 3 から 2 に引き算していました。この 2 つの概念を結び付けて、時空のより高度な理解を形成することができます。
1970 年代、ジェイコブ ベケンシュタインという物理学者は、ブラック ホールの内部に関する情報が、3 次元のボリューム (「バルク」) 内ではなく、2 次元の表面積 (「境界」) にエンコードされていることを示しました。 20 年後、レナード・サスキンドとジェラルド・ト・フーフトは、この概念を宇宙全体に拡張し、ホログラムに例えました。私たちの 3 次元宇宙は、2 次元の「ソース コード」から出現します。 1997 年、Juan Maldacena はホログラフィーの具体例を発見し、重力のない平らな空間を記述するおもちゃのモデルは、重力のある鞍型空間の記述と同等であることを示しました。このつながりを物理学者は「双対性」と呼んでいます。
バンクーバーにあるブリティッシュ コロンビア大学の弦理論家である Mark Van Raamsdonk は、ホログラフィックの概念を、ビデオ ゲームの 3 次元の仮想世界を作成するためのコードを含む 2 次元のコンピューター チップになぞらえています。私たちはその 3D ゲーム空間に住んでいます。ある意味では、私たちの空間は幻想であり、薄い空気に投影された儚いイメージです。しかし、Van Raamsdonk が強調するように、「コンピューターには、すべての情報を格納する実際の物理的なものが依然として存在します。」
このアイデアは理論物理学者の間で広く受け入れられていますが、彼らは依然として、より低い次元が時空の幾何学に関する情報を正確にどのように格納するかという問題に取り組んでいます。問題は、私たちの比喩的なメモリ チップが一種の量子コンピューターでなければならないということです。そこでは、情報をエンコードするために使用される従来の 0 と 1 が、同時に 0 と 1 とその間のすべてになることができる量子ビットに置き換えられます。これらのキュービットは、エンタングルメント (つまり、1 つのキュービットの状態が隣接するキュービットの状態によって決定される) を介して接続されている必要があります。その前に、現実的な 3D 世界をエンコードすることができます。
同様に、エンタングルメントは時空の存在の基本的なものであるようです。これは、2006 年に 2 人のポスドクによって達された結論でした:Shinsei Ryu (現在はイリノイ大学アーバナ シャンペーン校) と高柳正 (現在は京都大学) は、この研究で 2015 New Horizons in Physics 賞を共有しました。 「時空をエンコードする方法は、このメモリ チップのさまざまな部分がどのように絡み合っているかに大きく関係しているという考えでした」と Van Raamsdonk 氏は説明しました。
彼らの研究と Maldacena のその後の論文に触発されて、2010 年に Van Raamsdonk は、時空の形成におけるエンタングルメントの重要な役割を実証するための思考実験を提案し、メモリ チップを 2 つに切断するとどうなるかを熟考しました。次に、反対側の半分のキュービット間のもつれを取り除きました。彼は、時空が引き裂かれ始めることを発見しました。これは、ガムの塊を両端で引き伸ばすと、2 つの半分がさらに離れて移動するにつれて、中央に挟まれたように見えるポイントが生じるのとほぼ同じ方法です。そのメモリ チップをさらに小さな断片に分割し続けると、互いに接続されていない小さな個々の断片だけが残るまで、時空が解明されます。 「もつれを取り除けば、時空はバラバラになるだけです」とヴァン・ラームスドンクは言いました。同様に、「時空を構築したい場合は、特定の方法で [キュービット] を絡み合わせ始める必要があります。」
これらの洞察を、絡み合った時空の構造とホログラフィック原理をテンソル ネットワークに結び付ける Swingle の研究と組み合わせると、パズルのもう 1 つの重要なピースが所定の位置に収まります。曲がった時空は、ホログラフィーを介したテンソル ネットワークのもつれから非常に自然に発生します。 「時空は、この量子情報の幾何学的表現です」と Van Raamsdonk 氏は述べています。
そして、そのジオメトリはどのように見えますか?マルダセナの鞍型時空の場合、M.C.エッシャーの Circle Limit 1950 年代後半から 1960 年代前半の数字。エッシャーは、1936 年にスペインのアルハンブラ宮殿を訪れて以来、秩序と対称性に長い間関心を持っていました。そこで彼は、テッセレーションとして知られるムーア建築に典型的な反復タイル パターンにインスピレーションを得ました。
彼のサークル制限 木版画は双曲幾何学の図解です:歪んだ円盤として 2 次元で表される負に湾曲した空間は、地球の 2 次元地図に地球を平らにすると大陸が歪むのと同じようにです。たとえば、Circle Limit IV (Heaven and Hell) 天使と悪魔の繰り返しの姿が数多く描かれています。真の双曲空間では、すべての図形は同じサイズになりますが、エッシャーの 2 次元表現では、端に近い図形は中央の図形よりも小さく、より締め付けられて表示されます。テンソル ネットワークの図も、Circle Limit に非常によく似ています。 シリーズは、Swingle がその運命的なひも理論の授業を受けたときに気づいた深いつながりを視覚的に表したものです。
今日まで、テンソル解析はマルダセナのような時空のモデルに限定されていましたが、それは私たちが住む宇宙、つまり膨張が加速しているサドル型でない宇宙を記述していません。物理学者は、いくつかの特殊なケースでのみ、デュアル モデル間で変換できます。理想的には、彼らは万能辞書を持ちたいと考えています。そして、彼らは近似値を作成するのではなく、その辞書を直接導出できるようにしたいと考えています。 「私たちはこれらの二重性に関して面白い状況にいます。誰もがそれが重要であることに同意しているように見えますが、それらを導き出す方法を誰も知らないからです」と Preskill は言いました。 「おそらく、テンソル ネットワーク アプローチによって、さらに先へ進むことが可能になるでしょう。おもちゃの模型だけでも「あはは！これが辞書の由来です!」これは、私たちが何かに取り組んでいるという強力なヒントになるでしょう。」
過去 1 年間、Swingle と Van Raamsdonk は協力して、この分野でのそれぞれの作業を、時空の静的な図を超えて移動させ、そのダイナミクスを探求しました。時空が時間とともにどのように変化し、これらの変化に応じてどのように湾曲するかです。これまでのところ、彼らはアインシュタインの方程式、特に等価原理を導き出すことに成功しています。これは、時空のダイナミクスとその幾何学が絡み合ったキュービットから出現するという証拠です。有望なスタートです。
「『時空とは何か?』というのは完全に哲学的な質問のように聞こえます」と Van Raamsdonk 氏は述べています。 「実際にそれに対する何らかの答えが得られたということは、具体的で、時空を計算できるということで、驚くべきことです。」
このシリーズのパート 3 は、エンタングルメント、テンソル ネットワーク、時空の間の関係を説明するインタラクティブなプレゼンテーションを特徴とし、4 月 30 日木曜日に登場します。
