算術の不可分な原子である素数は、2、3、5、7、11、13、17 で始まり、パターンなしで無限に続く、数直線に沿って無計画に散らばっているように見えます。しかし 1859 年、ドイツの偉大な数学者ベルンハルト リーマンは、素数の間隔は、現在リーマン ゼータ関数の「非自明なゼロ」として知られている他の数に論理的に従うという仮説を立てました。
リーマンのゼータ関数は、複素数の可能性がある入力を受け取ります。つまり、複素数には「実数」と「虚数」の両方のコンポーネントがあり、他の数を出力として生成します。特定の複素数値入力に対して、関数はゼロの出力を返します。これらの入力は、ゼータ関数の「非自明なゼロ」です。リーマンは、これらのゼロのシーケンスを合計することにより、特定のカットオフまでの素数の数を計算する公式を発見しました。この式はまた、典型的な間隔の周りの素数の変動を測定する方法を提供しました — 期待されるものと比較したときに、与えられた素数がどれだけ大きいか小さいか.
しかし、リーマンは、ゼータ関数の零点が特定の特性を満たす場合にのみ、彼の式が有効であることを知っていました:それらの実部はすべて ½ に等しくなければなりませんでした。そうでなければ、式は意味を成しませんでした。リーマンは、ゼータ関数の最初のいくつかの非自明なゼロを計算し、それらの実部が ½ に等しいことを確認しました。この計算は、すべてのゼロがこの特性を持ち、すべての素数の間隔が関数に従うという彼の仮説を支持しました。しかし、彼は、「この命題の厳密な証明が必要であることは間違いありません」と述べています。
1 世紀半後、リーマン予想が純粋数学における最も重要な未解決の問題であり続けていることを証明したことは間違いありません。逆に、整数論者のエンリコ・ボンビエリが問題の説明で書いたように、「リーマン仮説の失敗は、素数の分布に大混乱をもたらすでしょう。」
数学者があらゆる角度から仮説を攻撃したため、問題は物理学にも移行しました。 1940 年代以降、ゼータ関数の零点と量子力学との関係について興味深いヒントが生まれました。たとえば、研究者は、ゼロの間隔が原子エネルギー レベルのスペクトルと同じ統計パターンを示すことを発見しました。 1999 年、数理物理学者のマイケル ベリーとジョナサン キーティングは、デイビッド ヒルベルトとジョージ ポリヤの以前の予想に基づいて、量子システム (つまり、ハイゼンベルグの不確定性原理によって関連付けられる位置と運動量を持つシステム) が存在すると推測しました。 ) そのエネルギー レベルは、リーマン ゼータ関数の非自明な零点に正確に対応します。これらの各エネルギー レベル、E n 、フォーム Z のゼロに対応 n =½ + iE n 、これは ½ に等しい実数部と E を掛けて形成される虚数部を持ちます n 虚数 i .
そのような量子系が存在する場合、これは自動的にリーマン仮説を意味します。その理由は、エネルギーは物理的に測定可能な量であるため、量子系のエネルギー準位は常に (虚数ではなく) 実数であるからです。 E n は純粋に実数であり、i を掛けると純粋に虚数になります。 対応する Z の数式 n の。 E の虚部が n i を掛ける 、その虚数特性をキャンセルして実数にすることで、Z の実数成分に寄与します。 n ½から別のものに変更します。エネルギー準位は常に実数であるため、ゼータ関数の零点の実部は常に ½ であり、したがってリーマン予想は真になります。
物理学者は 1999 年以来、エネルギー準位がゼータ関数のゼロに対応する量子系を探してきました。 3 月 30 日に Physical Review Letters に掲載された論文で 、セントルイスのワシントン大学のカール・ベンダー、ブルネル大学ロンドンのドルジェ・ブロディ、西オンタリオ大学のマーカス・ミュラーは、まさにそのような候補システムを提案しました。しかし、それは奇妙なものです — 外部の専門家は、それが証明につながるかどうかを判断するには時期尚早だと言っています.
通常、物理学者は、システムのエネルギー準位に対応する解、つまり「固有値」を持つ対称性の高い数学的行列を使用して、量子システムを記述します。これらの行列の対称性は、通常、虚数が相殺され、固有値が実数であることを保証するため、これらの行列は物理システムの記述として意味があります。しかし、ベンダーとブロディは 20 年間、通常の対称性要件を緩和し、パリティ時間 (または PT) 対称性と呼ばれるより弱い特性を尊重する量子システムの行列記述を研究してきました。ミュラーとの 2015 年の会話の後、リーマン ゼータ関数の非自明なゼロに対応する固有値を持つ PT 対称行列を書き留めることができることを発見しました。 「これは私たちにとって本当に驚きでした」と Brody 氏は言います。ただし、行列は PT 対称のみであったため、通常のより厳密な対称性に従うのではなく、実固有値 (対応するゼロが ½ に等しい実部を持つことを保証するプロパティ) を持つことは保証されません。
研究者たちは、行列の固有値がおそらく実数である理由と、その場合、リーマン仮説がおそらく正しい理由についていくつかの議論を説明しましたが、それを証明するには至りませんでした。 「不足しているステップを埋めるのが難しいか簡単かは、現時点では推測できません」と Brody 氏は述べています。 「難易度の高さをよりよく理解するには、さらなる作業が必要です。」
専門家は、この新しい提案は興味深いものであると述べていますが、彼らの型にはまらない量子システムに関する著者の議論を厳密なものにすることができるかどうかは定かではありません。ニューヨーク大学の数学者であるポール・ブルゲード氏は、「リーマン仮説に対する戦略としての彼らの発見の重要性について、適切な意見を述べるにはもっと時間が必要だろう.特に、Bourgade 氏は、提案された量子システムが、Berry と Keating によって以前に提案され、具体的な証明が得られなかったものとどのように比較されるかをより詳細に調査したいと述べました.
Bourgade によれば、物理学者がいつかゼータ関数の零点の量子解釈を突き止めれば、行列の固有値は非常によく理解されている統計分布に従うため、リーマンの公式よりもさらに正確に素数を処理できる可能性があります。それには他の意味もあります。ベリーは、素数の根底にある量子システムがカオスの単純なモデルとして機能し、素数に関連するカオス的な振る舞いが非カオスの量子システムからどのように発生するかを実証することを望んでいます.しかし、私たちはまだそこにいません。リーマン仮説が決定的な証明にどれだけ抵抗してきたかを考えると、ベリーは部分的な進歩を読みすぎないように注意を促した. 「リーマン仮説へのこの最新の貢献は、ピート・ハインの格言を完全に実証しています」とベリーは言いました。「攻撃に値する問題は、反撃することによってその価値を証明します。」
訂正:4 月 5 日に、この投稿は、ドルジェ ブロディが以前勤務し、現在も客員教授であるインペリアル カレッジ ロンドンではなく、ブルネル大学ロンドンに現在主に所属していることを反映するように変更されました。
