数学は、私たちが認識しているよりも環境科学に近いかもしれません。それは永遠の真実の探求ですが、多くの数学的概念はその起源を日常の経験にまでさかのぼります。占星術と建築は、エジプト人とバビロニア人に幾何学の発展を促しました。 17 世紀の科学革命における力学の研究により、微積分がもたらされました。
驚くべきことに、素粒子を扱った日常的な経験はほとんどありませんが、量子論からのアイデアは、途方もない数学的力も持っていることが判明しています。量子論の奇妙な世界 - 物事が同時に 2 つの場所にあるように見え、確率の法則に従う - は、以前のものよりも基本的な自然の記述を表すだけでなく、豊かな文脈を提供します。現代数学。量子論の論理構造が完全に理解され吸収されると、「量子数学」と呼ばれる可能性のある数学の新しい領域に影響を与えることができるでしょうか?
もちろん、数学と物理学の間には長期にわたる密接な関係があります。ガリレオは、解読されるのを待っている自然の本について次のように書いていることで有名です。しかし、最初に言語を理解し、それが構成されている文字を読むことを学ばなければ、その本を理解することはできません.それは数学の言語で書かれています。」近代以降、抽象数学の専門家として知られていなかったリチャード・ファインマンの言葉を引用することができます。 … 自然について学びたい、自然に感謝したいのなら、自然が話す言語を理解する必要があります。」 (その一方で、彼は次のようにも述べています。「今日、すべての数学がなくなったら、物理学はちょうど 1 週間後退するでしょう」と、ある数学者は巧妙な反論をしました。「これは、神が世界を創造した週でした。」)
数理物理学者でノーベル賞受賞者のユージーン・ウィグナーは、現実を描写する数学の驚くべき能力について雄弁に語り、それを「自然科学における数学の不当な有効性」と特徴付けています。同じ数学的概念が、さまざまな文脈で現れます。しかし最近、私たちはその逆を目の当たりにしているようです:現代数学における量子論の不合理な有効性.素粒子物理学に端を発するアイデアは、最も多様な数学的分野に現れるという驚くべき傾向を持っています。これは弦理論に特に当てはまります。数学におけるその刺激的な影響は、基礎物理学におけるその最終的な役割が何であれ、永続的でやりがいのある影響を与えるでしょう.関係する分野の数は目もくらむほどです:解析、幾何学、代数、トポロジー、表現論、組み合わせ論、確率 — リストは延々と続きます。このすべてを学ばなければならない貧しい学生たちを気の毒に思い始めます!
量子論のこの不当な有効性の根底にある理由は何でしょうか?私の見解では、これは量子の世界では起こりうるすべてのことが起こるという事実と密接に関連しています.
非常に概略的な方法で、古典力学は粒子が A から移動する方法を計算しようとします。 Bへ .たとえば、優先パスは、測地線に沿ったものである可能性があります。これは、湾曲した空間で最小の長さのパスです。量子力学では、代わりに A からのすべての可能な経路の集合を考えます Bへ 、しかし長くて複雑です。これは、ファインマンの有名な「歴史上の総和」の解釈です。次に、物理法則により、粒子が特定の軌道に沿って移動する確率を決定する特定の重みが各パスに割り当てられます。ニュートンの法則に従う古典的な解決策は、多くの解決策の中で最も可能性が高いものです。したがって、自然な方法で、量子物理学はすべてのパスのセットを加重アンサンブルとして研究し、すべての可能性を合計できるようにします。
すべてを一度に検討するこの全体論的アプローチは、オブジェクトの「カテゴリ」の研究が特定の個々の例よりも相互関係にはるかに焦点を当てている現代数学の精神に非常によく似ています。驚くべき新しいつながりを引き出すのは、この量子論の鳥瞰図です。
量子計算機
量子論の魔法の印象的な例は、ミラー対称性です。これは、幾何学に革命をもたらした、本当に驚くべき空間の同等性です。物語は列挙幾何学から始まります。列挙幾何学は確立されていますが、オブジェクトを数える代数幾何学のあまりエキサイティングな分野ではありません。たとえば、研究者は、カラビ-ヤウ空間の曲線の数を数えたいと思うかもしれません — アインシュタインの重力方程式の 6 次元の解は、ひも理論で特に興味深いものであり、余分な空間次元を丸めるために使用されます.
輪ゴムを円柱に何度も巻き付けることができるように、カラビ-ヤウ空間の曲線は、円柱が巻き付く頻度を測定する次数と呼ばれる整数によって分類されます。与えられた次数の曲線の数を見つけることは、最も単純なカラビ-ヤウ空間、いわゆる 5 次空間であっても難しいことで有名です。 19 世紀の古典的な結果では、線の数 (次数 1 の曲線) は 2,875 に等しいとされています。次数 2 曲線の数は 1980 年頃に計算されただけで、609,250 とはるかに多いことが判明しました。しかし、次数 3 の曲線の数には弦理論家の助けが必要でした。
1990 年頃、ひも理論家のグループが幾何学者にこの数の計算を依頼しました。幾何学者は複雑なコンピューター プログラムを考案し、答えを返しました。しかし、ひも理論家はそれが間違っているのではないかと疑っており、それはコードの間違いを示唆していました。確認したところ、幾何学者は存在することを確認しましたが、物理学者はどのようにして知ったのでしょうか?
ひも理論家は、この幾何学的問題を物理的な問題に変換するためにすでに取り組んでいました。そうすることで、彼らは一度に任意の次数の曲線の数を計算する方法を開発しました。数学界では、この結果の衝撃を過大評価することは困難です。どんなに高くても、すべての山に登る方法を考案するようなものでした!
量子論では、すべての次数の曲線の数を単一の洗練された関数に結合することは完全に理にかなっています。このように組み立てられたものは、単純な物理的解釈を持っています。これは、ヒストリー合計の原理が適用されたカラビ・ヤウ空間を伝播するストリングの確率振幅と見なすことができます。文字列は、可能なすべての次数のすべての可能な曲線を同時に調べると考えることができるため、非常に効率的な「量子計算機」となります。
しかし、実際の解を見つけるには 2 つ目の要素が必要でした。いわゆる「ミラー」カラビ・ヤウ空間を使用した物理学の同等の定式化です。 「鏡」という言葉は一見単純です。通常の鏡がイメージを反映する方法とは対照的に、ここでは元の空間とその鏡は非常に異なる形をしています。トポロジーも同じではありません。しかし、量子論の領域では、それらは多くの特性を共有しています。特に、両方の空間での文字列の伝播は同一であることが判明しました。元の多様体での難しい計算は、ミラー多様体でのはるかに単純な式に変換され、単一の積分で計算できます。 ほらね！
等しい双対性
ミラー対称性は、双対性と呼ばれる量子論の強力な特性を示しています。魔法の杖を振ると、すべての違いが突然消えるかのように、2 つの古典的なモデルを量子システムと見なすと同等になる可能性があります。双対性は、根底にある量子論の深い、しかししばしば神秘的な対称性を示しています。一般に、それらはほとんど理解されておらず、量子論に対する私たちの理解がせいぜい不完全であることを示しています.
このような等価性の最初の最も有名な例は、電子などのすべての量子粒子が粒子と波の両方と見なすことができると述べている、よく知られている粒子と波の双対性です。どちらの視点にも利点があり、同じ物理現象に対して異なる視点を提供します。 「正しい」視点 - 粒子または波動 - は、電子の性質ではなく、問題の性質によってのみ決定されます。鏡面対称の 2 つの側面は、「量子幾何学」に関する二重で等しく有効な視点を提供します。
数学には、異なる世界をつなぐ素晴らしい能力があります。あらゆる方程式で最も見落とされがちな記号は、控えめな等号です。イコールが電流を流し、「あは！」を照らすかのように、アイデアが流れます。私たちの心の電球。二重線は、アイデアが両方向に流れることを示しています。アルバート アインシュタインは、この特性を実証する方程式を見つけることの絶対的な達人でした。テイク E =mc 、間違いなく歴史上最も有名な方程式です。控えめなエレガンスの中で、相対性理論が出現する前は完全に別個のものと見なされていた質量とエネルギーの物理的概念を結び付けます。アインシュタインの方程式を通じて、質量をエネルギーに変換できること、またその逆も可能であることを学びます。アインシュタインの一般相対性理論の方程式は、あまりキャッチーで有名ではありませんが、幾何学と物質の世界を同様に驚くべき美しい方法で結び付けています。その理論を簡潔に要約すると、質量は空間に曲がり方を伝え、空間は質量に動き方を伝えるというものです。
ミラー対称性は、等号の力のもう 1 つの完璧な例です。 2 つの異なる数学的世界を接続することができます。 1 つはシンプレクティック幾何学の領域であり、多くの力学の根底にある数学の分野です。反対側は代数幾何学の領域、複素数の世界です。量子物理学は、アイデアが 1 つの分野から別の分野に自由に流れることを可能にし、これら 2 つの数学的分野の予想外の「大規模な統合」を提供します。
数学が量子物理学と弦理論の直感的でしばしば不正確な推論の多くを吸収し、これらのアイデアの多くを厳密なステートメントと証明に変換することができたのを見るのは慰めです.数学者は、この正確さをホモロジカル ミラー対称性に適用しようとしています。これは、ひも理論のミラー対称性の元のアイデアを大幅に拡張するプログラムです。ある意味では、彼らは 2 つの別々の数学的世界に現れるオブジェクトの完全な辞書を作成しており、それらが満たすすべての関係を含んでいます。驚くべきことに、これらの証明は、物理的な議論が示唆した道筋をたどらないことがよくあります。明らかに、物理学者の後片付けをするのは数学者の役割ではありません!それどころか、多くの場合、証明を見つけるためにまったく新しい考え方を展開しなければなりませんでした。これは、量子論と、最終的には現実の根底にある深いまだ発見されていない論理のさらなる証拠です。
ニールス・ボーアは、補完性の概念をとても気に入っていました。この概念は、Werner Heisenberg が不確定性原理で証明したように、量子力学では運動量 p のいずれかを測定できるという事実から生まれました。 粒子またはその位置 q 、しかし同時に両方ではありません。ヴォルフガング パウリは、発見からわずか数週間後の 1926 年 10 月 19 日付のハイゼンベルグ宛ての手紙の中で、この二重性を機知に富んだ形で要約しています。 -目、そして q で見ることができます -目だけど、両目を開けると片方が狂ってしまう。」
晩年、ボーアはこの考えをより広い哲学に押し込もうとしました。彼のお気に入りの補完的なペアの 1 つは、真実と明快さでした。おそらく、数学的厳密さと物理的直感のペアは、相互に排他的な 2 つの資質の別の例として追加する必要があります。数学的な目、または補完的な物理的な目で世界を見ることができますが、あえて両方を開くことは避けてください。
この記事は にスペイン語で転載されました Investigacionyciencia.es .
