地球の中心にトンネルを掘り、そこに飛び込んで、重力に引っ張られたとします。地球の反対側に到達するにはどのくらいかかりますか?何十年もの間、物理学の学生はその時間を計算するよう求められ、正解は 42 分であると教えられてきました。現在、より現実的な分析により、その見積もりから 4 分短縮されています。
「これは私たちが好む種類の論文です」と、ペンシルバニア州カーライルにあるディキンソン大学の物理学者であり、American Journal of Physics の編集者である David Jackson は言います。 、アメリカ物理教師協会の出版物。ジャーナルの 3 月号に掲載された新しい計算は、地球の構造に関する詳細を追加するだけではない、と彼は指摘します。また、過度に単純な仮定を別の同様に大雑把な仮定に置き換えても、より正確な答えが得られる理由も説明しています。 「それが、考えるのがとても楽しい理由です」とジャクソンは言います。
重力トンネル問題は、アイザック ニュートンの重力の法則の顕著な特徴と、一般的ではあるが非常に重要な種類の循環運動の両方を同時に示すため、物理学入門コースの定番です。これを解決するために、学生は物がトンネルを通って落下するときに物体にかかる重力がどのように変化するかを計算しなければなりません.
ここで、通常の非現実的な仮定が入ります。生徒たちは、ビリヤード ボールのように、地球全体が同じ密度であると想定しています。つまり、1 立方メートルあたり約 5500 キログラムです。その場合、地球の中心に向かってあなたを引っ張る重力の強さは、中心からの距離に比例して変化します。これは、トンネルを下るにつれて、自分よりも低い高度での質量の量が減少するのに対し、自分よりも高い高度での質量は、もはや影響を与えないためです。学生は、殻の定理と呼ばれる数学を使用して計算します。 .
中心に向かって人を引っ張る力は、中心からの距離に比例するため、バネの重りが上下に揺れたり、振り子が前後に揺れたりするのとまったく同じように、地球を前後に移動します。重力トンネル問題は、そのような単純な調和運動を生成するため、正確に教育に使用されます。
もちろん実際には、地球の密度は一様ではなく、地殻とマントルの密度が低く、コアの密度が高い.そこで、カナダのモントリオールにあるマギル大学の物理学の大学院生であるアレクサンダー・クロッツは、より現実的な分析がもたらすものについて考え始めました。 Klotz 氏は、なぜこの問題について熟考し始めたのかよくわからないと述べています。しかし、彼はときどきウェブサイト reddit で物理学の質問に答えています。 「私はちょっとした教育的アウトリーチに携わってきました」と Klotz 氏は言います。
より現実的な地球の質量分布を得るために、彼は地震データに基づく予備基準地球モデルに依存しました。地球の密度は、地表で約 1000 キログラム/立方メートル未満から、中心から 3500 キロメートルの外側コアの端での劇的なジャンプを含め、6371 キロメートル下の核の中心で約 13,000 キログラム/立方メートルまで追跡されます。 .この問題を数値的に解くと、クロッツは物体が 38 分 11 秒で地球を通過するはずであることを発見しました。これは、一様な惑星を仮定すると予測される 42 分 12 秒ではありません。
不思議なことに、クロッツ氏は、物体が中心に向かって急落したときの重力が一定であり、地表での値と等しいと単純に仮定した場合、ほとんど同じ答え (38 分フラット) を得ることを発見しました。このような一定の力には、地球の中心までの距離が減少するにつれて着実に増加する別の密度分布が必要になるため、中心までの距離が半分になると、密度は 2 倍になり、中心で無限にピークに達します。 (実際の分布はコアで単純に横ばいになり、重力はコアの中心でゼロに減少します。)
では、なぜ定力近似がうまく機能するのでしょうか?地球の質量分布により、重力は外核までほぼ一定のままであり、実際にはわずかに増加しているとクロッツは説明します。そこから先は、元の問題と同じように重力が距離とともに低下します。しかし、その時点までに、オブジェクトは非常に速く動いているため、コアを通過するのに実際にはほとんど時間がかからず、一定の力の近似は明らかに間違っています.したがって、最終的には近似で十分です。
新しい分析を満足させるのは、その驚くべき説明だとジャクソンは言います。 「古典的な問題はそのままにしておく必要があります」と彼は言います。 「しかし、これは古典的な問題への素晴らしい追加です。」クロッツ氏は、ビッグサイエンスのこの時代において、彼の経験は、「正しいアイデアがあれば、記念碑的な発見ではなく、漸進的な発見を行うことがまだ可能である」ことを示していると述べています.
