音波
波は私たちの周りにあふれています。ボートに乗っていて、船のサイレンが聞こえたとします。この例では、船のサイレンからの直接音波と海水によって反射された音波の両方を聞くことができます。
波の重ね合わせ入門
弦波の例を使用して、波の重ね合わせの重ね合わせ定理に基づく原理を定義しましょう。これによると、各波によって引き起こされる変位の代数的全体は、特定の時間の弦上の任意のコンポーネントの正味の変位に等しくなります。結果として、重ね合わせの原理は、正味の波形を決定するために別個の波形を追加する手順を指します。
2 つ以上の波が同時に同じ場所に到達すると、互いに重なり合います。波が衝突すると、波の乱れが重なり合う現象を波の重ね合わせといいます。それぞれの混乱は力に関連付けられており、それが積み重なっていきます。擾乱がすべて同じ経路をたどる場合、最終的な波は単純に個々の波の擾乱の合計になります。つまり、それらの振幅が加算されます。
重ね合わせた 2 つの反対方向の波動パルス
左のアニメーションに示すように、2 つのガウス波パルスは同じ媒質内を異なる方向に移動します。波は影響を受けずに互いに通過し、正味の変位はそれらの個別の変位の合計に等しくなります。
また、ガウス波パルスは移動中に形状が変化しないため、この媒体は非分散性である (すべての周波数が同じペースで移動する) ことにも注意してください。媒質が分散性である場合、波の形状は変化します。
ソリトンは互いに相互作用する非線形波ですが、重ね合わせの原理には従いません。
建設的および破壊的な干渉
2 つの波が同じ方向 (同じ振幅、周波数、波長) に進行しています。結果として生じる波の変位は次のように表すことができます。
y(x,t) =ymsin(kx−ωt) + ymsin(kx−ωt+ϕ)
y(x,t) =2ymcos(ϕ/2)sin(kx−ωt+ϕ/2)
これは、振幅が位相に比例する進行波です。 2 つの波が同相 (=0) の場合、建設的に干渉し、別々の波の 2 倍の振幅を持つ波になります。 2 つの波の位相が 180 度離れていると、破壊的に干渉し、互いに打ち消し合います。
左側のアニメーションは、相対的な位相に応じて、振幅と周波数が同じ 2 つの正弦波が破壊的にまたは建設的に追加される様子を示しています。
(注:このアニメーションは、媒質内の実際の波の伝搬を描写していません。2 つの波の間の位相シフトを調整する効果と、それに続く建設的または破壊的な干渉を示すだけです。)
時間が経つにつれて、2 つの波の位相差が広がり、建設的干渉と破壊的干渉の両方の影響が明らかになります。その結果、2 つの個々の波が正確に同相である場合、振幅が大きくなります。 2 つの灰色の波が完全に位相がずれている場合、和の波は 0 です。
定在波は、互いに反対方向に移動する 2 つの正弦波によって形成されます
進行波はある場所から別の場所に移動しますが、定在波は静止しているように見え、同じ場所で振動します。このアニメーションでは、反対方向に進行する 2 つの波。結果として生じる波の振幅は次のように書くことができます:波の重ね合わせの原理を使用すると、結果として生じる波の振幅は次のように書くことができます:
y(x,t) =ym sin(kx−ωt) + ymsin(kx+ωt)
y(x,t) =2ym cos(ωt)sin(kx)
位置依存性と時間依存性が分離されているため、この波はもはや進行波ではありません。 2歳m sin(kx) は、位置 (kx) の関数としての波の振幅です。この振幅は移動しません。代わりに、静止したままで、cos(ωt) に従って上下に振動します。定在波には、変位が最大の場所 (腹) と変位がゼロの場所 (変位ゼロ) (節) があります。
同じ周波数 (および波長) と振幅の 2 つの正弦波が同じ媒体内を反対方向に移動する場合、媒体の正味の変位は、波の重ね合わせを使用した 2 つの波の合計に等しくなります。 2 つの波は、ビデオに示されているように、互いに 180° 位相がずれていると互いに打ち消し合い、互いに完全に同位相になると加算されます。互いに通過する 2 つの波の正味の効果は、ゼロと最大振幅の間で変動します。ただし、このパターンは左右に移動するのではなく単純に振動するため、「定在波」と呼ばれます。
周波数の異なる 2 つの正弦波:Beats
同じ方向に、同じ振幅の 2 つの波が進行しています。 2 つの波の周波数と波長は異なりますが、どちらも同じペースで移動します。結果として生じる粒子の変位は次のように表すことができます:波の重ね合わせの原理を使用すると、結果として生じる粒子の変位は次のように記述できます:
y(x,t) =ym sin(k1 x−ω2 t) + ymsin(k2 x−ω2 t)
y(x,t) =2ym cos[x(k1 −k2 )/2−t(ω1−ω2)/2]sin[x(k1 +k2 )/2−t(ω1+ω2)/2]
結果として得られる粒子の動きは、反対方向に移動する 2 つの波の結果です。 1 つの成分は、平均周波数が f =½(f1 + f2) の正弦波です。これは、リスナーが知覚する周波数です。もう 1 つの成分は、微分周波数 f =½(f1 – f2) の余弦波です。この単語は、波の振幅「エンベロープ」がどのように制御され、「ビート」がどのように認識されるかを表しています。fbeat =(f1 – f2)。
2 つの波は同じ媒質内にあるため、同じペースで移動します。重畳和波は、2 つの成分波と同じ方向に同じ速度で移動しますが、その局所的な振幅は、2 つの個々の波が同位相か逆位相かによって決まります。 「ビート」波は平均周波数で振動し、微分周波数が振幅エンベロープに影響します。
結論
2つ（またはそれ以上）の波が専用の媒体を通過する場合、波の重ね合わせの原理をそれらに適用できます。波はお互いに通り抜けるので邪魔されません。個々の波の変位の合計は、空間または時間の任意の場所での媒体の正味の変位です。これは、有限長の波 (波パルス) と連続正弦波の両方に当てはまります。
