ヘルムホルツ方程式は、ヘルマン フォン ヘルムホルツにちなんで名付けられた線形偏微分方程式です。は波数、 は振幅、 はラプラシアンです。固有値方程式にはヘルムホルツ方程式も含まれます。
ヘルムホルツ方程式
数学や物理学で利用されるヘルムホルツ方程式は、ヘルマン・フォン・ヘルムホルツにちなんで名付けられました。線形偏微分方程式は、ヘルムホルツ方程式として知られています。固有値方程式はヘルムホルツ方程式です。ヘルムホルツの微分方程式は、11 の座標系と変数の分離のみを使用して簡単に解くことができます。
ヘルムホルツ方程式は、ドイツの物理学者であり医師であるヘルマン フォン ヘルムホルツ (Hermann von Helmholtz) にちなんで名付けられました。フルネームはヘルマン ルートヴィヒ フェルディナンド ヘルムホルツでした。 2 はラプラシアン、 は固有値、A は固有関数で、この方程式は線形偏微分方程式に関連しています。ヘルムホルツ方程式は、数学におけるラプラス演算子の固有値の問題に付けられた名前です。このため、固有値方程式としても知られています。
3 つの機能があります
記号 2 はラプラシアンを表します。
k は波数の記号です。
振幅量
通常の波の場合、k は固有値を表し、A は固有関数で、単に振幅を表します。
温度と体積が一定の閉じた熱力学系の仕事関数は、ヘルムホルツの自由エネルギーを使用して計算されます。通常は (f) で表されます。
ヘルムホルツの自由エネルギー式は次のとおりです:
U – TS =F
ヘルムホルツ自由エネルギーは F で表されます。A とも呼ばれます。
U はシステムの内部エネルギーです。 T は環境の絶対温度です。 S は与えられたシステムのエントロピーを表します。
この自由エネルギーとは対照的に、ギブズ自由エネルギーとして知られる別のタイプの自由エネルギーがあります。
ヘルムホルツ方程式は、次の式の偏微分方程式です
2A+k2A=0
ラプラス演算子は 2、固有値は k2、固有関数は A です。式を波に適用した場合の波数は k です。波動方程式と拡散方程式は、物理学におけるヘルムホルツ方程式の応用例です。地震学、音響学、電磁放射も問題解決の概念です。
ヘルムホルツ方程式の応用
地震学は、地震とその伝播弾性波の科学的研究です。津波 (環境への影響による) と火山噴火は、(地震源による) 研究のもう 2 つのトピックです。P 波 (一次波) と S 波 (二次またはせん断波) を含む実体波、表面波、および通常の波は地震波の 3 種類です。
ヘルムホルツ方程式にはいくつかの用途があります:
地震学 それは、地震とそれが生み出す弾性波の科学的研究です。環境要因によって引き起こされる津波と地震源によって引き起こされる火山噴火は、地震学の研究分野の 2 つです。
多くのタイプの地震波があります
体内の基本波であるP波
二次波またはせん断波は S 波です。
通常の波と表面波
波の力学: 場合によっては、ヘルムホルツ方程式は 3 次元の波動方程式から生じます。空間変数と時間変数を分離する解を見つけようとすると、空間部分の古典的なヘルムホルツ形式が得られます。この形式は、通常のアプローチを使用して解決できます。ドラムやその他の楽器、レーザー、伝搬音波、地震などの振動膜はすべて、ヘルムホルツ方程式の使用方法の例です。
量子力学: 場合によっては、ヘルムホルツ方程式は 3 次元の波動方程式から生じます。空間変数と時間変数を分離する解を見つけようとすると、空間部分の古典的なヘルムホルツ形式が得られます。この形式は、通常のアプローチを使用して解決できます。ドラムやその他の楽器、レーザー、伝搬音波、地震などの振動膜はすべて、ヘルムホルツ方程式の使用方法の例です。
静電気: ラプラス方程式は、静電学におけるこの方程式の特定のインスタンスです。ラプラス方程式は、方程式の右辺がゼロに等しい方程式です。たとえば、電荷が正味ゼロの場所で電場をモデル化してみてください。物理学者は、実際の境界条件を使用して、手順中に変数を分離することで方程式を解きます。
ヘルムホルツ関数方程式
ヘルムホルツ関数は、内部エネルギーと、システムの温度とエントロピーの積との差に等しいシステムの熱力学的関数です。
2 A + k2 A =( 2 + k2) ヘルムホルツ方程式 0 =A ヘルムホルツ自由エネルギー方程式の導出 F =U – TS はヘルムホルツ関数です。 U は内部エネルギーを表します。温度 (T)S はエントロピーを表します。初期ヘルムホルツ関数は Fi であり、極限ヘルムホルツ関数は Fr です。次のタスクは、等温 (一定温度) 可逆プロセス中に完了します:
動機と用途
空間と時間の両方における偏微分方程式 (PDE) を含む物理的な問題の研究では、ヘルムホルツ方程式が頻繁に登場します。元の方程式の時間に依存しない形式を反映するヘルムホルツ方程式は、分析の複雑さを軽減するために変数分離手法を使用した結果です。
波動方程式は次のとおりです:
(2/x2) =2 – 1/c2 (波動方程式)
変数を分離すると、u(r, t) =0 (Eq.1) が得られます
A(r) T(t) =u(r, t) (Eq.2)
(1) を (2) に置き換えます:
T*d2 T/dt2 =2 A/A =1/c2 T*d2 T/dt2
この式では、LHS の式は r によって決定され、RHS の式は t によって決定されます。ただし、両辺が定数値に等しい場合にのみ、方程式は真となります。
変数を分離して線形偏微分方程式を解いた後、2 つの方程式を受け取ります。1 つは A (r) 用、もう 1 つは T (t) 用です。
2 A/A =– k 2 (式 3)
いくつかの再配置の後、次のようなヘルムホルツ方程式にたどり着きます:
2A+k2A =(2 + k2)A =0
結論
ヘルムホルツ方程式は、ヘルマン フォン ヘルムホルツにちなんで名付けられた線形偏微分方程式です。数学と物理学で利用されるヘルムホルツ方程式は、ヘルマン フォン ヘルムホルツにちなんで名付けられました。
