カルノーのサイクルプルーフ

カルノーのサイクル証明または定理とは?

カルノーの熱機関は、カルノー サイクルで動作する理想的な熱機関です。 Nicolas Leonard Sadi Carnot は 1824 年にこのエンジンのモデルを開発しました。その動作は熱機関に似ており、熱力学の第 2 法則に基づいています。

熱力学第二法則

周期的なプロセスで動作し、単一の温度で物体から熱を取得し、それを完全に機械的仕事に変換するだけの熱機関を設計することはできません.

この第 2 法則のステートメントは、ケルビン プランク ステートメントと呼ばれます。

機械仕事を完全に熱に変換することはできますが、熱を完全に機械仕事に変換することはできません。この点で、熱と仕事は等価ではありません。ここで、熱力学第二法則の他のいくつかの側面を検討します。

熱機関

熱エネルギーを機械エネルギーに変換する装置を熱機関と呼びます。熱機関を利用して熱を仕事に変換するには、次の条件を満たす必要があります:

• ソースと呼ばれる、熱が抽出されるより高い温度「T1」の物体があるはずです。

• エンジン本体には作動物質が含まれています。

• シンクと呼ばれる、熱を逃がすことができる低温「T2」の物体があるはずです。

熱機関の働き

熱機関の概略図を以下に示します。

エンジンは、ソースから「Q1」の量の熱を取り出します。

この熱の一部は仕事「W」に変換されます。余熱「Q」はシンクに排出されます。

したがって

Q1 =W+Q2

またはエンジンによって行われる仕事は

W=Q1-Q2

熱機関の効率

熱機関の効率 (𝛈) は、エンジンに供給される全熱のうち、仕事に変換される割合として定義されます。

数学的には

以来 𝛈=W/Q1

または 𝛈=Q1-Q2/Q1 =1-Q2/Q1

カルノーの熱機関

カルノー エンジンは、カルノー サイクルで動作する理想的な熱機関です。このエンジンのモデルは、1824 年に Nicolas Leonard Sadi Carnot によって開発されました。そのさまざまな部分を以下に示します。

ソース:一定温度 T1 K に維持された伝導トップを備えた熱エネルギーの貯蔵庫です。熱源は非常に大きいため、そこからいくらかの熱を抽出しても温度は変化しません。

熱機関の本体 :壁が完全に断熱され、底が伝導するバレルです。摩擦なしでバレル内をスライドできる気密ピストンが取り付けられています。バレルには理想ガスがいくらか含まれています。

シンク:低温 T2 の巨大なボディで、上部が完全に伝導します。シンクのサイズが非常に大きいため、シンクに放出された熱の量によって温度が上昇することはありません。

断熱スタンド:その上に配置されたバレルが周囲から完全に断熱されるように、完全に断熱材で作られたスタンドです。

カルノーの熱機関の働きとそのサイクル

カルノー エンジンが作動すると、エンジンの作動物質はカルノー サイクルとして知られる別のプロセスを経ます。このサイクルは 4 つの異なる段階で構成されています。

1.等温膨張として知られる第一段階

バレルはソースの上に置かれます。ガスが膨張するにつれて、ピストンは徐々に押し戻されます。膨張による温度の低下は、熱源からの熱の供給によって補償されるため、温度は一定に保たれます。

ガスの状態が A(P1, V1) から B(P2, V2) に変化します。 W1 がこのプロセスで行われる仕事である場合、熱源から得られる熱 Q1 は次の式で与えられます。

Q1 =W1 =-nRT1 loge(V2 / V1)

2.断熱膨張と呼ばれる第 2 段階

バレルをソースから取り外し、断熱スタンドの上に置きます。ピストンが押し戻されて気体が断熱膨張し、温度が T1 から T2 に低下します。ガスの条件は、B(P2, V2) から C(P3, V3) に変化します。 W2 がこの場合に行われた作業である場合、

W2 =nCv(T2 – T1)

3.等温圧縮として知られる第 3 段階

樽をシンクの上に置きます。ガスを圧縮することでピストンを押し下げます。圧縮によって発生した熱はシンクに流れ、バレルの温度を一定に保ちます。ガスの状態は C(P3, V3) から D(P4 , V4) に変化します。 W がこのプロセスで行われる仕事であり、Q がシンクに排出される熱である場合、

W3 =-nRT2 loge(V4 / V3)

4.断熱圧縮と呼ばれる第 4 段階

バレルを断熱スタンドの上に置きます。ピストンが下に移動することにより、ガスの温度が T2 から T1 に上昇するまで、ガスは断熱的に圧縮されます。ガスの状態は、D(P4 , V4) から A(P1, V1) に変化します。 W4 がこのプロセスで行われる作業である場合、

W4 =nCv(T1 – T2)

熱はカルノー サイクルで仕事に変換されます

Wcycle =W1 + W2 + W3 + W4

⇒ – nRT1 loge(V2 / V1) + nCv(T2 – T1) – nRT2 loge(V4 / V3) + nCv(T1 – T2)

⇒ -nR[ T1loge(V2 / V1) + T2 loge(V4 / V3) ]

BC の場合、T1V2𝜸 – 1 =T2V3𝜸 – 1

DA の場合、T1V1𝜸 – 1 =T2V4𝜸 – 1

(V2 / V1)𝜸 – 1 =(V3 / V4)𝜸 – 1 ⇒ V2 / V1 =V3 / V4

したがって、1 サイクル中にエンジンによって行われる正味の仕事は、サイクルのインジケーター ダイアグラムによって囲まれた領域に等しくなります。分析的に、

Wcycle =-nR(T1 – T2) loge(V2 / V1)

カルノーのサイクル定理

カルノー エンジンはリバーシブル エンジンです。熱力学の第二法則から次のことが証明できます:

同じ値の 2 つの温度間で動作するすべてのリバーシブル エンジンは同等の効率を持ち、同じ 2 つの温度間で動作するエンジンはこれより高い効率を達成できません。

上記の定理は、カルノーのサイクル定理として知られています。これは第 2 法則の結果であり、理論上の限界𝛈 =1-T2/T1 を熱機関の最大効率に設定します。

カルノーの循環証明

エンジンの効率 (𝛈) は、エンジンに供給される全熱に対する使用熱 (仕事に変換される熱) の比率として説明できます。したがって、

𝛈 =| W/Q1|=|(Q1 – Q2)/Q1|

𝛈 =nR(T1 – T2) loge(V2 / V1) / nRT1 loge(V2 / V1) ) =(T1 – T2) / T1

𝛈 =1 – Q2 / Q1 =1 – T2 / T1

したがって、エンジンの効率は高温と低温の温度のみに依存すると言えます。エンジンが動作し、理論的な限界を設定するボディ 𝛈 =1 – T2/T1

熱機関の最大効率へ。

カルノーのエンジンとその定理に関するいくつかの重要なポイント