気圧計算式の導出:断熱大気の説明

断熱大気の気圧計算式では、高度の上昇に伴う気温の低下と、それに伴う気圧への影響が考慮されます。

等温大気の気圧計算式

記事「等温大気の気圧計算式」では、一定の温度を仮定して気圧計算式が詳細に導かれました。したがって、ここでは導出の短いバージョンのみを示します。

空気の層 (空気小包と呼ばれます) ) 環境と平衡にある無限小の厚さ dh を考慮します。この空気塊は、空気密度が ϱ となる任意の高度 h に位置します。この場合、すべて平衡状態にある 3 つの力を扱っていることになります。まず、空気層の下側に圧力 p が働きます。一方、上面では空気密度が減少するため、低い気圧が働きます。そこでの圧力は dp だけ低くなります。空気塊の両側にかかる力は、圧力と底面積 A の積によって決まります。3 番目の力は、空気塊の重量 Fg です。

\begin{整列}
F_b &=p \cdot A &\text{空気層の底部の力} \\[5px]
F_t &=\left(p-\text{d} p \right) \cdot A &\text{空気層の上部にかかる力 } \\[5px]
F_g&=A \cdot \text{d} h \cdot \rho \cdot g &\text{空気層の重さ} \\[5px]
\end{整列}

したがって、空気層 Ft の上面にかかる空気圧の下向きの力と、同じく下向きに作用する重り Fg は、空気層 Fb の下面にかかる上向きの力と釣り合います。

\begin{整列}
\require{キャンセル}
&F_b \overset{!}{=} F_g + F_t \\[5px]
&p \cdot \bcancel{A} =\bcancel{A} \cdot \text{d}h \cdot \rho \cdot g + \left(p-\text{d}p \right) \cdot \bcancel{A} \\[5px]
&\bcancel{p} =\text{d}h \cdot \rho \cdot g + \bcancel{p} – \text{d}p \\[5px]
&\text{d}p =\rho \cdot g \cdot \text{d}h \\[5px]
\end{整列}

高度が上がると圧力は減少し (dh>0)、増加しない (dp<0) という事実を考慮するために、上記の式に負の符号が追加されます。

\begin{整列}
\label{dp}
&\boxed{\text{d}p =- \rho \cdot g \cdot \text{d}h} \\[5px]
\end{整列}

したがって、この式は、高度の（微小な）変化 dh と、その結果として生じる圧力の（微小な）変化 dp との関係を示しています。ただし、空気密度自体が圧力の関数であるという事実は、この時点ではやや懸念されます。圧力が高いほど、空気はより圧縮され、密度が高くなります。したがって、密度を圧力の関数として表す必要があります。空気を理想気体と考えると、これは比較的簡単に実行できます。理想気体の法則によれば、密度は温度 T によって圧力に関係します (Rs は比気体定数を示します)。

\begin{整列}
\label{理想}
&p=R_s \cdot \rho \cdot T~~~~~\text{理想気体法則} \\[5px]
\label{ロー}
&\boxed{\rho=\frac{p}{ R_s \cdot T }}\\[5px]
\end{整列}

方程式 (\ref{dp}) で方程式 (\ref{rho}) を使用すると、高度の (微小な) 変化とその結果として生じる気圧の変化との間に、最終的に次の関係が得られます。

\begin{整列}
\label{c}
&\boxed{\text{d}p =-\frac{g}{R_s \cdot T} \cdot p \cdot \text{d} h} \\[5px]
\end{整列}

圧力変化が圧力自体の影響を直接受けていることがすぐにわかります。圧力が低いほど、圧力変化は小さくなります (高度の変化 dh が同じと仮定します。したがって、高度が上昇するにつれて気圧の減少が少なくなると仮定できます。高度に対する圧力の減少を表すと、結果として、ますます平坦になる曲線が得られます。圧力変化は圧力に比例するため、指数関数的に圧力が減少します。

この曲線は、変数を分離した後、方程式 (\ref{c}) を積分することで得られます。積分では温度が一定であると仮定します。結果は、古典的な気圧計算式です (詳細な導出と詳細な説明については、リンク先の記事を参照してください)。

\begin{整列}
&\text{d}p =-\frac{g}{R_s \cdot T} \cdot p \cdot \text{d} h \\[5px]
&\frac{ \text{d}p }{p} =-\frac{g}{R_s \cdot T} \cdot p \cdot \text{d} h \\[5px]
&\int_{p_0}^{p}\frac{ \text{d}p }{p} =-\frac{g}{R_s \cdot T} \cdot \int_{0}^h \text{d} h \\[5px]
&\left[\ln{\left( p\right)}\right]_{p_0}^p =-\frac{g}{R_s \cdot T} \cdot \left[~h~\right]_{0}^{h}\\[5px]
&\ln{(p)}-\ln{(p_0)}=-\frac{g}{R_s \cdot T} \cdot {\left(h-0\right)}\\[5px]
&\ln{\left(\frac{p}{p_0}\right)}=-\frac{g \cdot h}{R_s \cdot T} \\[5px]
&\text{e}^{\Large{\ln{\left(\frac{p}{p_0}\right)}}}=\text{e}^{\Large{-\frac{g \cdot h}{R_s \cdot T} }}\\[5px]
&\frac{p}{p_0}=\text{e}^{-\frac{g \cdot h}{R_s \cdot T} }\\[5px]
\label{バー}
&\boxed{p(h)=p_0 \cdot \text{e}^{\Large{-\frac{g \cdot h}{R_s \cdot T}}}} ~~~~~\text{等温大気の気圧の公式} \\[5px]
\end{整列}

この式では、p0 は基準レベル (「高さゼロ」) での圧力を表し、p は基準レベルより上の任意の高さ h での圧力に対応します。

気圧式 (断熱大気) に対する温度変化の影響

すでに述べたように、方程式 (\ref{bar}) による気圧の公式は、一定の温度の条件で導かれました。したがって、この式は、大気の温度が高度によって変化しないと仮定した場合にのみ有効です。この文脈では、 いわゆる等温大気について話します。 .

「古典的な」気圧計算式は、等温大気、つまり高度が上昇しても温度が変化しない条件下にのみ適用されます。

ただし、特に高度の大きな変化を考慮する場合、実際の経験から、気温は一定に保たれるのではなく、通常は高度が上がるにつれて低下することがわかっています。このため、一般的に高山では周囲の渓谷よりも寒くなります。これは、とりわけ、サーマルによって上部に上昇した暖かい空気が、圧力の低下によって冷却されるという事実に起因すると考えられます。このような現象はスプレー缶でも見られます。加圧ガスは、周囲に膨張するとき、つまり、より低い圧力まで膨張するとき、かなり冷却されます。

したがって、圧力プロファイルをより正確に説明するには、温度変化を考慮する必要があります。温度変化をモデル化するために、以下では圧力の低下により上昇および膨張し、その結果冷却される空気塊を考慮します。話を簡単にするために、空気塊は環境に熱を放出せず、環境から熱を吸収しないと仮定します。したがって、それは断熱システムです。この文脈では、 いわゆる断熱雰囲気についても話されます。 .

高度変化と気温変化（減率）の関係

断熱状態変化中に熱が伝達されないからといって、温度が変化しないことを意味するわけではないことに注意してください。この場合、温度変化は上昇中の圧力または体積の変化のみによるものであり、外部の熱伝達によるものではないため、それに応じてモデル化が簡素化されます。

したがって、断熱システムであると考えられる空気塊の場合、まず圧力の変化 (高度の変化に関連する) とその結果として生じる温度の変化の間の関係を見つけなければなりません。このようにして、気温の低下を数学的に記述し、気圧の計算式に組み込むことができます。

この目的のためには、微分表記における熱力学の第一法則が必要です。この方程式は、仕事 dW と熱 dQ の (無限微量) 供給が内部エネルギー dU の変化を引き起こすことを示しています。

\begin{整列}
&\boxed{\text{d}W + \text{d}Q =\text{d}U}~~~~~\text{熱力学の第一法則} \\[5px]
\end{整列}

ただし、空気塊は断熱であると仮定されているため、この場合、定義により熱は伝達されません (dQ=0)。したがって、内部エネルギーの変化はもっぱら仕事によって引き起こされます。

\begin{整列}
\label{最初}
&\text{d}U =\text{d}W~~~~~\text{断熱システムにのみ適用} \\[5px]
\end{整列}

この仕事は、圧力の低下による空気塊の体積の増加によるものです。作用空気圧に対して空気の体積を増やすには仕事が必要なため圧力体積仕事とも呼ばれます。 。特定の空気圧 p における圧力と体積の仕事は、体積の変化 dV にのみ依存します (以下の式の負の符号は、体積が増加すると仕事が気体によって行われるため、負にカウントする必要があるという慣例から生じています)。

\begin{整列}
\label{dw}
&\boxed{\text{d}W =– p \cdot \text{d}V}~~~~~\text{圧力-体積仕事量} \\[5px]
\end{整列}

方程式 (\ref{erst}) によれば、体積を増やすのに必要なエネルギーは内部エネルギーから得られます。質量 m の理想気体の場合、内部エネルギーは温度変化 dT のみに依存します (cv は比等容熱容量を示します)。

\begin{整列}
\label{du}
&\boxed{\text{d}U =c_v \cdot m \cdot \text{d}T}~~~~~\text{内部エネルギーの変化} \\[5px]
\end{整列}

方程式 (\ref{du}) と (\ref{dw}) を方程式 (\ref{erst}) で使用すると、高高度での体積の増加 (dV>0) が温度の低下 (dT<0) に直接つながることがわかります。

\begin{整列}
&\text{d}W =\text{d}U \\[5px]
&c_v \cdot m \cdot \text{d}T =– p \cdot \text{d}V \\[5px]
\label{dt}
&\underline{\text{d}T =– \frac{p}{c_v \cdot m} \cdot \text{d}V } \\[5px]
\end{整列}

体積、圧力、温度は、理想気体の法則によって関係付けられます。この場合、理想気体の法則は密度ではなく、空気塊の体積と質量で表されます。これにより、次のような関係が生じます。

\begin{整列}
\label{i}
&\boxed{p \cdot V =R_s \cdot m \cdot T}~~~~~\text{理想気体法則} \\[5px]
&T =\frac{p \cdot V}{R_s \cdot m} \\[5px]
\end{整列}

したがって、圧力や体積が変化すると、温度も変化します。この場合、両方の変数が変化します。したがって、積則によれば、温度の微小変化 dT は、圧力 dp または体積 dV の変化に関係します (「微分形式の理想気体法則」)。

\begin{整列}
&\text{d}T =\frac{\text{d}p \cdot V}{R_s \cdot m} + \frac{p \cdot \text{d}V}{R_s \cdot m} ~~~~~\text{微分形式の理想気体法則} \\[5px]
\end{整列}

この方程式を体積の変化 dV に関して解くと、方程式 (\ref{dt}) で使用できます。

\begin{整列}
&\text{d}T =\frac{\text{d}p \cdot V}{R_s \cdot m} + \frac{p \cdot \text{d}V}{R_s \cdot m} \\[5px]
&R_s \cdot m \cdot \text{d}T =\text{d}p \cdot V + p \cdot \text{d}V \\[5px]
&\underline{\text{d}V=\frac{ R_s\cdot m\cdot\text{d}T}{p}- \frac{\text{d}p\cdot V}{p} } \\[5px]
\end{整列}

この式を方程式 (\ref{dt}) で使用すると、微小な圧力変化 dp とそれに関連する温度変化 dT の間に次の関係が得られます。

\begin{整列}
\require{キャンセル}
&\text{d}T =– \frac{p}{c_v \cdot m} \cdot \color{red}{\text{d}V} =– \frac{p}{c_v \cdot m} \cdot \color{red}{\left( \frac{ R_s\cdot m\cdot\text{d}T}{p}- \frac{\text{d}p\cdot V}{p} \right) } \\[5px]
&\text{d}T =-\frac{R_s \cdot \bcancel{m} \cdot \text{d}T \cdot \bcancel{p}}{c_v \cdot \bcancel{m} \cdot \bcancel{p}}
+ \frac{\bcancel{p} \cdot \text{d}p \cdot V}{c_v \cdot m \cdot \bcancel{p}} \\[5px]
&\text{d}T =-\frac{R_s \cdot \text{d}T}{c_v}+\frac{\text{d}p \cdot V}{c_v \cdot m} \\[5px]
&\text{d}T \cdot c_v =-R_s \cdot \text{d}T+\frac{V}{m} \cdot \text{d}p\\[5px]
&\text{d}T \cdot (c_v+R_s) =\frac{V}{m} \cdot \text{d}p\\[5px]
\end{整列}

この時点で比等容熱容量の合計を使用できます。 cv と比ガス定数 Rs は比等圧熱容量にちょうど対応します。 CP。さらに、理想気体の法則 (\ref{i}) によれば、商 V/m は式 Rs⋅T/p で置き換えることができます。したがって、特定の圧力 p での圧力変化 dp と、特定の温度 T での結果として生じる温度変化 dT の間には、次の関係が適用されます。

\begin{整列}
&\text{d}T \cdot \underbrace{(c_v+R_s)}_{c_p} =\underbrace{\frac{V}{m}}_{ \frac{R_s \cdot T}{p} } \cdot \text{d}p\\[5px]
&\text{d}T \cdot c_p=\frac{R_s \cdot T}{p} \cdot \text{d}p \\[5px]
\label{zz}
&\boxed{\frac{\text{d}T}{T} =\frac{R_s}{c_p} \cdot \frac{\text{d}p}{p}} \\[5px]
\end{整列}

上の式 (\ref{zz}) は、圧力変化に伴う温度変化を表します。ただし、この場合、温度変化は圧力変化ではなく、高度変化によって説明される必要があります。この目的のために、圧力変化 dp と高度変化 dh を結び付ける式 (\ref{c}) が必要です。

\begin{整列}
\require{キャンセル}
&\frac{\text{d}T}{T}=\frac{R_s}{c_p}\cdot\frac{\overbrace{-\frac{g}{R_S \cdot T} \cdot p \cdot \text{d} h}^{\text{d}p} }{p}\\[5px]
&\frac{\text{d}T}{ \bcancel{T}}=-\frac{ \bcancel{R_s} \cdot g \cdot \bcancel{p} \cdot \text{d}h}{c_p \cdot \bcancel{R_s} \cdot \bcancel{T} \cdot \bcancel{p}}\\[5px]
\label{卒業生}
&\boxed{\frac{\text{d}T}{ \text{d}h } =-\frac{g}{c_p}}:=\Gamma ~~~~~\text{減率 (温度勾配)} \\[5px]
\end{整列}

この形式では、上記の方程式は高度変化 dh あたりの温度変化 dT、つまり単位高度あたりの温度低下 (ケルビン単位) を表します。この式は温度勾配とも呼ばれます。 または失効率 Γ。上の式が示すように、失効率は定数のみから生じます。したがって、断熱と仮定された大気中では、温度は直線的に低下します。

比熱容量 cp=1005 J/(kg⋅K) の乾燥空気の場合、高度 100 メートルごとに約 1 ケルビン (1 °C) 温度が低下します。

\begin{整列}
&\Gamma =-\frac{g}{c_p} =-\frac{9,81 \frac{\text{N}}{\text{kg}} }{ 1005 \frac{\text{ J}}{\text{kg K}} } \about \underline{\underline{\frac{ – 1 \text{K}}{100 \text{ m}}}}\\[5px]
\end{整列}

断熱雰囲気を仮定すると、乾燥空気の温度は高度 100 メートルごとに約 1 °C 直線的に低下します (乾燥断熱減率と呼ばれます)。

基準レベルでの温度 T0 がわかっている場合、任意の高度 h での温度 T は次の方程式に従って決定できます。

\begin{整列}
\label{th}
&\boxed{T(h) =T_0 + \Gamma \cdot h} ~~~\text{mit}~~~ \boxed{\Gamma=-\tfrac{g}{c_p}} \\[5px]
\end{整列}

失効率の別の導出

減率の別の導出は断熱過程に基づいており、次の方程式に従って圧力と温度を関連付けます。 γ は熱容量比を示します。 :γ=cp/cv):

\begin{整列}
&T_1^{\gamma } \cdot p_1^{1-\gamma} =T_2^{\gamma} \cdot p_2^{1-\gamma} \\[5px]
&\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{-\gamma } =\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{1-\gamma} \\[5px]
\end{整列}

方程式の両辺を対数化し、対数商は減算としても記述できることを利用すると、次の方程式が得られます。

\begin{整列}
&\ln\left[\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{-\gamma}\right] =\ln\left[\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{1-\gamma}\right] \\[5px]
&-\gamma \cdot \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) =(1-\gamma) \cdot \ln\left(\frac{p_2}{p_1}\right) \\[5px]
&-\gamma \cdot \left[\ln\left(T_2\right) – \ln\left(T_2\right) \right] =(1-\gamma) \cdot \left[ \ln\left(p_2\right) – \ln\left(p_1\right) \right] \\[5px]
\end{整列}

この方程式は、次の積分によって最終的に取得できます。

\begin{整列}
&-\gamma \cdot \int_{T_1}^{T_2} \frac{1}{T}~ \text{d}T=(1-\gamma) \cdot \int_{p_1}^{p_2} \frac{1}{p} ~ \text{d}p \\[5px]
\end{整列}

この方程式の両辺を導出すると、整数の符号は単純に省略できます。このようにして、圧力変化とその結果生じる温度変化の間に次の微分関係が得られます。

\begin{整列}
&-\gamma \cdot \frac{1}{T} ~\text{d}T =(1-\gamma) \cdot \frac{1}{p} ~ \text{d}p \\[5px]
\label{z}
&\boxed{ \frac{ \text{d}T }{T} ~ =\frac{\gamma-1}{\gamma} \cdot \frac{\text{d}p}{p} } \\[5px]
\end{整列}

熱容量比 γ=cp/cv の定義を使用すると、項 (γ-1)/γ は比気体定数 Rs と比等圧熱容量 cp によって表すこともできます。

\begin{整列}
\frac{\gamma-1}{\gamma}&=\frac{\tfrac{c_p}{c_v} -1}{\tfrac{c_p}{c_v}} ~~~\text{項を掛ける}\tfrac{c_v}{c_v} \text{ は次のようになります:} \\[5px]
&=\frac{c_p-c_v}{c_p} ~~~\text{を使用すると } c_p-c_c =R_s \text{ は次のようになります:} \\[5px]
&=\frac{R_s}{c_p} \\[5px]
\end{整列}

したがって、方程式 (\ref{z}) の式 (γ-1)/γ を項 Rs/cp で置き換えると、最終的に前のセクションと同じ方程式が得られます [方程式 (\ref{zz}) を参照]:

\begin{整列}
&\boxed{\frac{\text{d}T}{T} =\frac{R_s}{c_p} \cdot \frac{\text{d}p}{p}} \\[5px]
\end{整列}

失効率のさらなる導出は、前のセクションでの導出と同じです。この目的のために、再度、式 (\ref{c}) に従った圧力変化が上記の方程式で使用されます。

\begin{整列}
\require{キャンセル}
&\frac{\text{d}T}{T}=\frac{R_s}{c_p}\cdot\frac{\overbrace{-\frac{g}{R_s \cdot T} \cdot p \cdot \text{d} h}^{\text{d}p} }{p}\\[5px]
&\frac{\text{d}T}{ \bcancel{T}}=-\frac{ \bcancel{R_s} \cdot g \cdot \bcancel{p} \cdot \text{d}h}{c_p \cdot \bcancel{R_s} \cdot \bcancel{T} \cdot \bcancel{p}}\\[5px]
\label{2年生}
&\boxed{\frac{\text{d}T}{ \text{d}h } =-\frac{g}{c_p}} \\[5px]
\end{整列}

失効率に対する空気湿度の影響

約 -1 K/(100m) の温度勾配は、厳密に言えば、ガス状の水を含まない乾燥した空気にのみ適用されます。このため、この温度勾配は乾燥断熱減率とも呼ばれます。 .

ただし、空気には常に一定量の水分が含まれています。つまり、空気中にはガス状の水 (水蒸気と呼ばれます) が存在します。 ）。したがって、比熱容量 cp が変化し、消失率も変化します。ただし、空気には約 1% の水蒸気しか含まれていないため、変化した熱容量が失効率に与える影響は、多くの場合無視できます。

空気塊に含まれる水蒸気が凝縮する可能性は、失効率に大きく影響します。温度が低下すると、ガス状の水の一部が最終的に凝縮、つまり再び液体になります。これは、 冷たい空気が保持できるためです。 暖かい空気よりも水の量が少なくなります。 20 °C では、空気 1 立方メートルには最大約 17 g の水蒸気が含まれます。ただし、-20 °C ではわずか約 1 g です。

高度が上がるにつれて気温が下がると、上昇する空気塊は完全に蓄えることができなくなります。 それに含まれる水。これにより水が凝縮し、過飽和の空気塊から液体の水滴が沈殿します。この状態では、気温は露点に正確に一致します。

水が凝結して雲が形成される様子がよく観察できます。凝結、つまり雲の形成が起こる高度は雲底とも呼ばれます。 。雲底が位置する高度は、環境と気象条件に大きく依存します。たとえば、雲底は高度 3 km で形成されますが、雲は地上の真上にも形成されます。この現象は霧と呼ばれます。 .

熱力学の観点から見ると、雲の形成には重要な現象が伴います。凝縮熱 (潜熱とも呼ばれます) ) 水の凝縮中に放出される物質は、空気の冷却を妨げます。したがって、雲底の上では、上昇する空気塊は雲底の下ほど冷却されません。したがって、結露時の減光率は、雲が形成されていない場合よりも低くなります。したがって、乾燥断熱失率は区別されます。 (結露なし) と湿潤断熱減率 (結露あり)。

乾燥断熱減率とは対照的に、湿潤断熱減率では、高度の上昇に伴う水蒸気の凝縮が考慮されます。凝縮熱が放出されるため、湿潤断熱減率は乾燥断熱減率よりも低くなります。

いわゆるスタンダードな雰囲気の場合。 、湿潤断熱減率は、海抜最初の 11 km で 0.65 °C/100 m と想定されます。標準的な雰囲気については、後ほど別のセクションで詳しく説明します。

断熱雰囲気の圧力プロファイル

高度の関数としての温度は方程式 (\ref{th}) に従ってわかっているため、方程式 (\ref{c}) から圧力プロファイルを導き出す際にこの関数を考慮することができます。

\begin{整列}
&\text{d}p =-\frac{g}{R_s \cdot T(h)} \cdot p \cdot \text{d} h \\[5px]
&\text{d}p =-\frac{g}{R_s \cdot \left(T_0 + \Gamma \cdot h \right)} \cdot p \cdot \text{d} h \\[5px]
&\frac{\text{d}p}{p} =-\frac{g}{R_s} \cdot \frac{\text{d} h}{ T_0 +\Gamma \cdot h } \\[5px]
\end{整列}

方程式の両辺を対応する制限内で統合できるようになりました。下限は基準レベル、つまり h0=0 および p0 を指します。上限は、圧力 p が決定される任意の高度 h に対応します。

\begin{整列}
\label{p0}
&\boxed{\int_{p_0}^p~\frac{\text{d}p}{p} =-\frac{g}{R_s} \cdot \int_{h_0=0}^h\frac{\text{d} h}{T_0+\Gamma \cdot h}} \\[5px]
\end{整列}

この方程式の左辺は、既知の式 ln(p/p0) を生成します [方程式 (\ref{bar}) の導出を参照]。この方程式の右辺の積分を解くには、数学の公式集を調べると役立ちます。分数の分母の一次関数の場合、次の不定積分が得られます。

\begin{整列}
&\int \frac{\text{d}x}{b+a \cdot x} =\frac{1}{a} \cdot \ln\left(b+a\cdot x\right) \\[5px]
\end{整列}

この方程式を今回のケースに適用できます。 x=h、b=T0、a=Γ の場合、方程式 (\ref{p0}) の左側の積分に対して次の解が得られます。

\begin{整列}
\int_{0}^h\frac{\text{d} h}{T_0 +\Gamma \cdot h} &=\left[\frac{1}{\Gamma} \cdot \ln\left(T_0+\Gamma \cdot h\right) \right]^h_0 \\[5px]
&=\frac{1}{\Gamma} \cdot \ln\left(T_0+\Gamma \cdot h\right) – \frac{1}{\Gamma} \cdot \ln\left(T_0\right) \\[5px]
&=\frac{1}{\Gamma} \cdot \left[ \ln\left(T_0+\Gamma \cdot h\right) -\ln\left(T_0\right)\right] \\[5px]
&=\frac{1}{\Gamma} \cdot \ln\left(\frac{T_0+\Gamma \cdot h}{T_0}\right) \\[5px]
&=\frac{1}{\Gamma} \cdot \ln\left(1+\frac{\Gamma}{T_0} \cdot h\right) \\[5px]
\end{整列}

したがって、方程式 (\ref{p0}) は次のように表されます。

\begin{整列}
\color{red}{\int_{p_0}^p~\frac{\text{d}p}{p}} &=-\frac{g}{R_s} \cdot \color{blue}{\int_{h_0=0}^h\frac{\text{d} h}{T_0 +\Gamma \cdot h}} \\[5px]
\color{red}{\ln\left(\frac{p}{p_0}\right) } &=-\frac{g}{R_s} \cdot \color{blue}{ \frac{1}{\Gamma} \cdot \ln\left(1+\frac{\Gamma}{T_0} \cdot h\right) } \\[5px]
\end{整列}

この方程式は、最初に両側に指数関数を適用し、次にさまざまな対数恒等式を利用して結果の方程式を単純化することで、圧力 p に関して解くことができます (例:eln(x)=x und \(\text{e}^{a \cdot b}=\left(\text{e}^{a}\right)^b\))。

\begin{整列}
\text{e}^{\ln\left(\frac{p}{p_0}\right)} &=\text{e}^{-\frac{g}{R_s \cdot \Gamma} \cdot \ln\left(1+\frac{\Gamma}{T_0} \cdot h\right)}\\[5px]
\frac{p}{p_0} &=\left(\text{e}^{\ln\left(1+\frac{\Gamma}{T_0} \cdot h\right)} \right)^{ -\frac{g}{R_s \cdot \Gamma }}\\[5px]
\frac{p}{p_0} &=\left(1+\frac{\Gamma}{T_0} \cdot h\right)^{ -\frac{g}{R_s \cdot \Gamma }} \\[5px]
\end{整列}

\begin{整列}
\label{拡張子}
&\boxed{p(h) =p_0 \cdot \left(1+\frac{\Gamma}{T_0} \cdot h\right)^{ -\frac{g}{R_s \cdot \Gamma }}}~~~\text{断熱大気の気圧の公式} \\[5px]
\end{整列}

上の方程式は、線形温度プロファイル (断熱雰囲気) を考慮して、基準レベルより上の任意の高さ h での圧力を示します。この式では失効率 Γ が負の値として使用されることに注意してください。経過率は K/m (「ケルビン/メートル」) 単位で、温度 T0 はケルビンで指定する必要があります。

下の図は、等温大気の古典的な気圧計算式と断熱大気の拡張気圧計算式の比較を示しています。

断熱雰囲気の密度プロファイル

断熱システムを仮定すると、圧力は体積、つまり密度に直接関係します。このようにして、気圧の式を密度に対して定式化することもできます。断熱プロセスの場合、2 つの状態の圧力と体積は次の方程式によって相互に関係付けられます。

\begin{整列}
&p \cdot V^\gamma =p_0 \cdot V_0^\gamma \\[5px]
\end{整列}

この式では、圧力 p0 と体積 V0 は基準レベルでの考慮された空気塊を指し、p と V は任意の高さ h での状態を指します。一定の質量では、空気塊の質量は上昇中に変化しません。体積と密度は互いに反比例の関係にあります (ϱ=m/V)。したがって、圧力と密度の間には次の関係が適用されます。

\begin{整列}
&p \cdot \frac{1}{\rho^\gamma} =p_0 \cdot \frac{1}{\rho_0^\gamma} \\[5px]
&\frac{p}{\rho^\gamma} =\frac{p_0}{\rho_0^\gamma} \\[5px]
&p =p_0 \cdot \left(\frac{\rho}{\rho_0}\right)^\gamma \\[5px]
\end{整列}

この圧力の公式は方程式 (\ref{ext}) で使用され、密度 ϱ に関して解かれます。

\begin{整列}
\require{キャンセル}
p &=p_0 \cdot \left(1+\frac{\Gamma}{T_0} \cdot h\right)^{ -\frac{g}{R_s \cdot \Gamma }} \\[5px]
\bcancel{p_0} \cdot \left(\frac{\rho}{\rho_0}\right)^\gamma &=\bcancel{p_0} \cdot \left(1+\frac{\Gamma}{T_0} \cdot h\right)^{ -\frac{g}{R_s \cdot \Gamma }} \\[5px]
\frac{\rho}{\rho_0} &=\left(1+\frac{\Gamma}{T_0} \cdot h\right)^{ -\frac{g}{\gamma \cdot R_s \cdot \Gamma }} \\[5px]
\end{整列}

\begin{整列}
\boxed{\rho(h) =\rho_0 \cdot \left(1+\frac{\Gamma}{T_0} \cdot h\right)^{ -\frac{g}{\gamma \cdot R_s \cdot \Gamma }}} \\[5px]
\end{整列}

形式的には、密度の式は、この時点では熱容量比で割られる指数だけが圧力の式と異なります。

標準的な雰囲気

断熱大気の気圧計算式は、 いわゆる標準大気を説明するために使用されます。 高度約85kmまで。大気はさまざまな層に分割され、各層内では一定の減退率が仮定されます。

出典:https://ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/19770009539.pdf

成層圏（約 20 km から）の温度上昇は、主にオゾン層による紫外線の吸収によるものです。その後、気温は約 90 km で最低約 -86 °C まで再び下がります。 100 km から温度は再び急激に上昇し、300 km では 700 °C を超えることもあります。その理由は、空気密度が低いことと、それに関連して平均自由行程が大きくなることです。これにより、分子は衝突することなく長距離を移動することができます。これにより、分子速度が比較的速くなり、高温になります。分子の数が少ないという事実により、高温にもかかわらず、ガスに関連する内部エネルギーは非常に低くなります。したがって、伝達される熱はほんのわずかであるため、たとえ高温であっても凍死する可能性があります。

等温層内の圧力を説明する場合、断熱雰囲気の気圧公式は使用できないことに注意してください。この場合の失効率はゼロですが、指数における分数の分母になります。これに対する数学的な解決策はありません。この場合、誤差を最小限に抑えるために十分に小さい減率を仮定するか、等温大気の「古典的な」気圧公式を使用する必要があります。