トリチェリの法則:液体の吐出速度を理解する

トリチェリの法則 (トリチェリの定理) では、液体の排出速度は、液体表面からタンクの開口部までの液体の自由落下に等しいと規定されています。

流出速度（吐出速度）

導出

容器内の液体が静水圧によって開口部から流出する速度を決定するのは比較的簡単です。このために、水で満たされた容器を考えます。底部付近には上向きの開口部があります。したがって、水は一定の速度で上向きに流れますが、それを知りたいのです。この場合、次の質問に答える必要があります。エネルギー保存の法則に違反しないように、水はどのくらいの最大速度で流出することができますか?

答えは、「ジェットが水面よりも高くならないほど（摩擦を無視した場合）、水が非常に強く流れ出る可能性がある」です。これが事実であれば、より高い容器がこのジェットで満たされる可能性があります。今度は、別の、さらに高い容器を満たすことができます。水は実際にはそれ自体で上方に移動します。しかし、 これはエネルギー保存の法則に矛盾します。 。逆に、水が元の水面よりも低い高さに達した場合、エネルギーは破壊されてしまいます。

したがって、エネルギー的な観点から、水粒子の運動エネルギー (Wkin=1/2・m・vd2) は、せいぜい完全に位置エネルギー (Wpot=m・g・h) に変換できることは明らかです。高さ h は開口部上の水面の高さ (または水面下の開口部の深さ) に対応し、m は水粒子の質量に対応します。したがって、オリフィスから流出する流体の速度は次のように計算できます。

\begin{整列}
\require{キャンセル}
W_{L} &=W_{親族} \\[5px]
\bcancel{m} \cdot g \cdot h &=\frac{1}{2} \cdot \bcancel{m} \cdot v_d^2 \\[5px]
\end{整列}

\begin{整列}
\label{tl}
&\boxed{v_d=\sqrt{2gh}} \\[5px]
\end{整列}

この式は液体が自由に流出できる条件下でのみ有効であることに注意してください。流出中に逆圧が蓄積すると、液体の流出が妨げられるため、この式は無効になります。これは、たとえば、流出した液体がホースを通って密閉容器に導かれる場合に当てはまります。密閉容器内の液面が上昇すると、容器内の空気が圧縮され、逆圧が発生します。その場合、流出速度 (排出速度) は式 (\ref{tl}) が示すよりも低くなります。

式の解釈

式からわかるように、穴のある容器から流体が流出する速度は、開口部と液体の表面との高さの差にのみ依存します。また、開口部が上向き、下向き、または横向きであるかどうかも、吐出速度 (開口部で直接測定される) とは無関係です。

式 (\ref{tl}) は、吐出速度が液体の密度に依存しないことも示しています。摩擦を無視すれば、容器の中にどの液体が入っているかは関係ありません。密度の高い液体では静水圧も大きくなるため、これは最初は矛盾しているように思えます。その結果、より密度の高い液体がより高い圧力で開口部から押し出され、より高い高さに到達すると考える人もいるかもしれません。圧力が高いという事実は完全に正しいですが、これはまさに「重い」液体が同じ高さに到達する方法です。

この解釈は、方程式 (\ref{tl}) が、液体表面の沈下速度が吐出速度に比べて無視できるほど小さい場合にのみ有効であることも明らかにします。そうでなければ、水面の粒子は位置エネルギーだけでなく運動エネルギーも持つことになります。これは、エネルギー方程式でも考慮する必要があります (これについては後で詳しく説明します)。

トリチェリの定理

ただし、放電速度の導出により、別の興味深い解釈が可能になります。このために、容器の外側の流出プロセスではなく、内側のプロセスを考慮します。水は表面から下に流れ、開口部から出ます。そこで、開口部（基準レベル）から高さ h にある質量 m の少量の液体を考えます。したがって、この質量には位置エネルギー Wpot=m・g・h を割り当てることができます。開口部に向かう途中で、この位置エネルギーは運動エネルギーに変換されます。開口部では、運動エネルギーは完全に運動エネルギー Wkin=1/2⋅m⋅vd2 に変換されます。エネルギーを等価すると、方程式 (\ref{tl}) と同じ結果が得られます。

現在のアプローチでは、表面で考慮される水塊が開口部に自由落下することが明らかに仮定されています。水の粒子が実際には自由落下しないとしても、エネルギー的な観点からは同じです。なぜなら、開口部から一定の質量が流出するたびに、水は同じ程度下に沈む、つまり落下する必要があるからです。

このような連続的なプロセスは、不連続なプロセスとして想像することもできます。指で開口部を閉じることを想像してください。短時間、出口が開くと、突然少量の水がすぐに流れ出します。これにより、水位が急激に低下します。自由落下で短い距離を落下します。したがって、水が開口部から流れ出るとき、多数の小さな自由落下として液面が沈む様子を想像することができます。

オリフィスから流出する液体の想像上の自由落下はトリチェリの法則とも呼ばれます。 トリチェリの定理について .

通信船

方程式 (\ref{tl}) は、異なるように充填された容器が互いに接続されたときに共通の液面が生じる理由を説明するためにも使用できます。これは通信船の原理としても知られています。 。

液面が低い方の容器を、もう一方の容器の開口部とみなすことができます。水は、方程式 (\ref{tl}) に従って、この開口部から速度 v で流出します。したがって、水位に高低差がある限り、水は上に流れます。水位の差がなくなると、排出速度がゼロになるため、水の流出が止まります。この場合、同じ水位に達しています。

ドレン時間（排出時間）

液体がタンクから排出されるとき、タンクを完全に空にするのにどれくらい時間がかかるかという疑問がよく起こります。このような場合は、たとえば、水を張った浴槽を空にした場合などが考えられます。したがって、以下では、 そのような放電時間を決定したいと思います。 単純な幾何学的なコンテナの場合。簡単にするために、出口開口部の高さ (オリフィス直径) がタンクの充填レベルに比べて小さいと仮定します。

容器がどれくらい早く排出されるかは、とりわけ、液体がどれだけ早く流出するかによって決まります。結局のところ、流出速度が高いということは、時間あたりに流出する質量が多くなるということです。式(\ref{tl})によれば、流出速度は揚程h(流れの深さ)に依存します。初期の液位が高いときは、単位時間あたりにタンクから大量の液体が流出します。したがって、最初は比較的早くレベルが低下します。ただし、レベルが低下すると、排出速度はますます低下し、タンクの排水が遅くなります。

日常生活とテクノロジーにとっての重要性

この時点ですでに重要な結論が得られます。液体レベルが高いほど、タンクをより早く空にすることができます。浴槽に横たわると浴槽の排水が早くなるのもこれが理由です。なぜなら、それによって周囲の水を押しのけ、浴槽から出る場合よりも高いレベルに水が溜まる時間が長くなるからです。

専門用語で言えば、これは、非常に迅速に排水する必要があるタンクは、幅ではなく高さで構築する必要があることを意味します。これに代わる簡単な方法は、ホースを使って出口をできるだけ低い位置に配置することです。ホースを深く敷設するほど、水の流れが速くなり、排出時間が短くなります。

連続方程式 (質量保存)

排出時間の決定はタンクの形状にも依存するため、一般的にはそれほど簡単ではありません。しかし、技術的な実践では、主に一定の断面積を持つ容器が使用されます。これは、液面が下がっても液体の表面積が一定に保たれることを意味します。たとえば、食品業界の雨水タンクや飲料タンクを考えてみましょう。浴槽の場合でも、水の表面積は高さによってほとんど変化しません（最後に向かって、水がほぼ完全に抜けたときを除く）。

したがって、以下では、断面積 A が常に一定に保たれるタンクを検討します。容器の底で、液体は断面積 Ad の穴を通って流れ出します。まず第一に、吐出速度間の関係を見つける必要があります。 タンクからの液体の量と降下速度 タンク内の液面の様子です。これは、穴から流出する質量が、タンク内の液体が減少する質量に正確に一致するという単純な条件によって行われます (質量保存)。 ）。 非圧縮性流体の場合 、これは、タンク内の液体の体積が、排出された体積の量だけ減少することを意味します。

このために、任意のヘッド h における非常に短い時間 ⋅Δt を考慮します。液体は開口部を通って一定速度 vd で排出され、距離 Δs=vd⋅Δt をカバーします。穴 Ad の断面を使用して、排出される液体の量 ΔV を決定できるようになりました。

\begin{整列}
\label{v1}
&\Delta V =\Delta s \cdot A_d =v_d \cdot \Delta t \cdot A_d \\[5px]
\end{整列}

液体の排出によりタンク内の液面が低下します。考慮した期間 Δt) 内では、下降速度は一定であると仮定され、v で示されます。したがって、液面はこの時間内に距離 Δh=v⋅Δt だけ低下します。したがって、タンク内の液体の体積は、上記の式に類似した量 ΔV だけ減少します。

\begin{整列}
\label{v2}
&\Delta V =\Delta h \cdot A =v \cdot \Delta t \cdot A \\[5px]
\end{整列}

すでに述べた質量保存のため 、式 (\ref{v1}) による排出量は、式 (\ref{v2}) に従って容器から除去される液体の量に対応します。したがって、両方の方程式は同等であると考えることができ、 と吐出速度の間の関係を表すことができます。 vd と降下速度 v が取得されます:

\begin{整列}
\require{キャンセル}
&v \cdot \bcancel{\Delta t} \cdot A =v_d \cdot \bcancel{\Delta t} \cdot A_d \\[5px]
\label{k}
&\boxed{v =\frac{A_d}{A} \cdot v_d} ~~~~~\text{非圧縮性物質の連続方程式} \\[5px]
\end{整列}

方程式 (\ref{k}) は連続方程式とも呼ばれます。 そして最終的には大量保存について説明します。具体的には、同じ質量を同じ時間内に通過させなければならないため、断面積が小さければ小さいほど、液体はより速く流れなければならないことを意味します。この点で、タンクは断面が A から Ad に向かって先細になっているパイプ システムとみなすことができます。

この時点で、容器の断面 A が高さにわたって一定であるという仮定が以下の説明を大幅に単純化する理由が明らかになります。これは、下降速度と排出速度が、充填レベルに関係なく、常に同じ比率であるためです。

トリチェリの法則

降下速度と吐出速度の関係が明らかになったら、吐出速度のヘッド依存性を求めなければなりません。トリチェリの定理は方程式 (\ref{tl}) の形で役立ち、方程式 (\ref{k}) で直接使用できます。

\begin{整列}
\label{vv}
&\boxed {v =\frac{A_d}{A} \cdot \sqrt{2gh}} ~~~\text{降下速度} \\[5px]
\end{整列}

この時点で、すでに説明されたことを数学的な形式で見ることができます。降下速度は液体レベルに依存し、それがレベル自体に影響を及ぼし、したがって再び降下速度に影響を与えます。ただし、下降速度は液面の変化速度にすぎません。つまり、降下速度は、時間 dt あたりのレベルの変化 dh に対応します。負の符号は、降下速度が正になるとレベルが減少することを示します。

\begin{整列}
&\boxed {v =– \frac{\text{d}h}{\text{d}t}} \\[5px]
\end{整列}

両方の方程式を組み合わせると、 最終的に次の微分方程式が得られます。 、これは解決する必要があります:

\begin{整列}
&-{\frac{\text{d}h}{\text{d}t} =\frac{A_d}{A} \cdot \sqrt{2gh}} \\[5px]
\end{整列}

微分方程式を解く

計算をより明確にするために、微分方程式の定数が定数 C) に結合されます。

\begin{整列}
&\boxed{-\frac{\text{d}h}{\text{d}t} =C \cdot \sqrt{h}} ~~~\text{and } \boxed{C=\sqrt{2g} \cdot \frac{A_d}{A}}=\text{konstant} \\[5px]
\end{整列}

この微分方程式を解くには、変数 h と t を分離します。つまり、変数 h に依存するすべての変数は方程式の一方の側にあり、変数 t に依存するすべての変数は方程式のもう一方の側にあります。定数 C は 2 つの変数のどちらにも依存しないため、どちらの側にあるかは関係ありません。

\begin{整列}
&-\frac{\text{d}h}{ \sqrt{h}} =C \cdot \text{d}t \\[5px]
\end{整列}

方程式の両辺を独立して積分できるようになりました。積分限界は次の考慮事項から得られます。時間 0 ではヘッドは H であり、それ以外の時間 t ではヘッドは h です。

\begin{整列}
&-\int\limits_H^h \frac{\text{d}h}{ \sqrt{h}} =\int\limits_0^t C \cdot \text{d}t \\[5px]
&-\left[2\sqrt{h}\right]_H^h =C \cdot \left[ t \right]_0^t \\[5px]
&-2\left(\sqrt{h}-\sqrt{H}\right) =C \cdot t \\[5px]
&t =\frac{2}{C} \left(\sqrt{H}-\sqrt{h}\right)\\[5px]
\end{整列}

完全を期すために、定数 C が上記の式に適用されます。コンテナをレベル H からレベル h まで排出するのに必要な時間 t は、次の式を使用して計算できます。

\begin{整列}
&t =\frac{2}{ \underbrace{\sqrt{2g} \cdot \tfrac{A_d}{A}}_{=C} } \left(\sqrt{H}-\sqrt{h}\right)\\[5px]
\label{gl}
&\boxed{t =\frac{A}{A_d} \sqrt{\frac{2}{g}} \left(\sqrt{H}-\sqrt{h}\right)} \\[5px]
\end{整列}

タンクを完全に空にする場合、 h は 0 と排出時間に等しくなります。 t は次の式を使用して計算できます。

\begin{整列}
&t_d =\frac{A}{A_d} \sqrt{\frac{2}{g}} \sqrt{H}\\[5px]
&\boxed{t_d =\frac{A}{A_d} \sqrt{\frac{2H}{g}}} ~~~\text{放電時間} \\[5px]
\end{整列}

コメント

同じ充填量の高いタンクは、広いタンクよりも早く排水されると最初に説明しました。放電時間の計算式が矛盾しているようです。この式によれば、液面が高いほど吐出時間は長くなります。

もちろん、これは矛盾ではありません。充填量が同じであれば、充填レベルが増加するのと同じ程度に容器の断面積が減少するからです。たとえば、断面積が半分になると、ヘッドは 2 倍になります。ただし、吐出時間の計算では揚程の平方根は考慮されません。ヘッドを2倍にすると1.4倍（＝√2）に相当します。断面積が半分になることで、放電時間が 0.7 分の 1 (=√2⋅) 短縮されます。 0.5)。

時間の経過に伴う液面の減少

時間の関数として液体レベルの減少を計算したい場合は、方程式 (\ref{gl}) を液体レベル h に合わせて再配置する必要があります。

\begin{整列}
t &=\frac{A}{A_d} \sqrt{\frac{2}{g}} \left(\sqrt{H}-\sqrt{h}\right) \\[5px]
\frac{A_d}{A} \sqrt{\frac{g}{2}} \cdot t &=\sqrt{H}-\sqrt{h} \\[5px]
\sqrt{h} &=\sqrt{H} – \frac{A_d}{A} \sqrt{\frac{g}{2}} \cdot t \\[5px]
h &=\left(\sqrt{H} – \frac{A_d}{A} \sqrt{\frac{g}{2}} \cdot t \right)^2 \\[5px]
\end{整列}

\begin{整列}
&\boxed{h(t) =\left(\sqrt{H} – \frac{A_d}{A} \sqrt{\frac{g}{2}} \cdot t \right)^2} \\[5px]
\end{整列}

したがって、レベルは時間の経過とともに二次関数的に減少します。放物線の頂点は、コンテナが完全に排出された時点に対応します。

排出の体積流量 (流出速度)

式 (\ref{vv}) に従って、各ヘッド h の吐出速度 v を計算できます。したがって吐出量の体積流量も計算できます。 V* (流出速度とも呼ばれます) または排出率だけ ）出口を通って流れる流体の量。体積流量は、タンクから排出される時間 Δt あたりの液体の体積 ΔV です。

\begin{整列}
&\boxed{\dot V =\frac{\Delta V}{\Delta t}} ~~~\left[\dot V \right] =\frac{\text{m³}}{\text{s}}~~~\text{吐出の体積流量} \\[5px]
\end{整列}

放電率 V* は、式 (\ref{v1}) を整理することで、この定義に従って決定できます。

\begin{整列}
&\Delta V =A_d \cdot v_d \cdot \Delta t \\[5px]
\label{vd}
&\frac{ \Delta V }{\Delta t} =\boxed{\dot V =A_d \cdot v_d} \\[5px]
\end{整列}

最後に、方程式 (\ref{tl}) による吐出速度を方程式 (\ref{vd}) で使用して、水頭の関数として吐出速度を計算できます。

\begin{整列}
\label{dV}
&\boxed{\dot V =A_d \cdot \sqrt{2gh} } \\[5px]
\end{整列}

降下速度が放出速度に及ぼす影響

導出された式は、降下速度が放出速度に比べて無視できるほど小さい場合にのみ適用されるとすでに述べました。ただし、特に開口部が大きい場合は、大量の液体が流出する可能性があります。その後、レベルは比較的早く低下します。トリチェリの定理によれば、これは単なる自由落下ではなく、初速度のある自由落下になります。初速度は、現時点での液面の下降速度に対応します。

したがって、エネルギー的な観点から、表面上の考慮された量の液体は、位置エネルギー (m・g・h) だけでなく、運動エネルギー (1/2・m・v2) も持ちます。この一般的なケースでは、次の式で吐出速度 vd が求められます。

\begin{整列}
\require{キャンセル}
&\bcancel{m} \cdot g \cdot h + \frac{1}{2} \cdot \bcancel{m} \cdot v^2 =\frac{1}{2} \cdot \bcancel{m} \cdot v_d^2 \\[5px]
\end{整列}

\begin{整列}
&\boxed{v_d=\sqrt{v^2+2gh}} \\[5px]
\end{整列}

液面が急激に沈むと吐出速度が速くなります。流出する液体は、いわば液面の低下から追加の運動エネルギーを引き出します。もちろん連続方程式です。 方程式 (\ref{k}) によると、引き続き適用されます。したがって、降下速度 v と排出速度 vd は次のように関係付けられます。

\begin{整列}
&v =\frac{A_d}{A} \cdot v_d \\[5px]
&v =\frac{A_d}{A} \cdot \sqrt{v^2+2gh} \\[5px]
\end{整列}

この方程式を解くと降下速度 v が求められます。

\begin{整列}
&\boxed{v =\color{red}{\tfrac{1}{\sqrt{ 1- \left(\tfrac{A_d}{A}\right)^2 }}} \cdot \frac{A_d}{A} \cdot \sqrt{2gh} } \\[5px]
\end{整列}

この式を式 (\ref{vv}) (降下速度を無視して得られる) と比較すると、2 つの式の違いは赤でマークされた項だけです。この幾何学的な用語は、最終的には開口部とタンクの断面積の比によってのみ決定されます。以下の図は、今期の推移を比率の関数として示しています。開口部の断面積が容器の断面積の 10 % より小さい場合、この係数はわずか 1.005 です。降下速度の影響は、断面積比 0.1 未満では無視できるほどです。これは多くの場合に当てはまります。

これが当てはまらない場合には、この要素を考慮する必要があります。したがって、これは、吐出速度 vd、吐出時間 t、および吐出流量 V* に影響します (追加の項は、シンク率の無視と比較して赤色でマークされています)。

\begin{整列}
&\boxed{v_d =\color{red}{\tfrac{1}{\sqrt{1-\left(\tfrac{A_d}{A}\right)^2}}} \cdot \sqrt{2gh} } \\[5px]
\end{整列}

\begin{整列}
&\boxed{\dot V =\color{red}{\tfrac{1}{\sqrt{1-\left(\tfrac{A_d}{A}\right)^2}}} \cdot A_d \cdot \sqrt{2gh} } \\[5px]
\end{整列}

\begin{整列}
&\boxed{t =\color{red}{\sqrt{1-\left(\tfrac{A_d}{A}\right)^2}} \cdot \frac{A}{A_d} \sqrt{\frac{2}{g}} \left(\sqrt{H}-\sqrt{h}\right)} \\[5px]
\end{整列}

大きな開口部から排出

これまで、開口部の寸法は頭部に比べて小さいと考えられていました。この仮定は、横向きの放電の場合に特に有利です。これにより、開口部全体にわたって（ほぼ）一定の圧力が得られ、したがってほぼ一定の吐出速度が得られます。一方、開口部が比較的高い場合、上端の静水圧は下端よりも低くなります。したがって、吐出速度も開口部全体で異なります。

簡単にするために、タンクの側面で長方形の排出断面を考慮します (上の図を参照)。開口部が多数の小さな「スロット」で構成されていると想像してください。このようなスロットの断面積 dAd は、スロット幅 b とスロット高さ dh の積から得られます。深さ h の各スロットを通じて、それぞれの体積流量 dV* は式 (\ref{dV}) に従って計算できます。

\begin{整列}
&\text{d} \dot V =\text{d}A_d \cdot \sqrt{2gh} =b \cdot \text{d} h \cdot \sqrt{2gh} \\[5px]
&\text{d} \dot V =b \cdot \sqrt{2gh} \cdot \text{d}h \\[5px]
\end{整列}

定義された座標系によれば、この方程式は hu (開口部の上端) と hl (開口部の下端) の範囲内で積分されるため、開口部全体を通る総吐出量 V* が得られます。

\begin{整列}
\dot V &=\int\limits_{h_u}^{h_l} b \cdot \sqrt{2gh} \cdot \text{d}h \\[5px]
&=\sqrt{2g} \cdot b \int\limits_{h_u}^{h_l} \sqrt{h} \cdot \text{d}h \\[5px]
&=\sqrt{2g} \cdot b \int\limits_{h_u}^{h_l} h^{\frac{1}{2}} \cdot \text{d}h \\[5px]
&=\tfrac{2}{3} \sqrt{2g} \cdot b \cdot |h^{\frac{3}{2}}| _{h_u}^{h_l} \\[5px]
&=\tfrac{2}{3} \sqrt{2g} \cdot b \cdot \left(h_u^{\frac{3}{2}} – h_l^{\frac{3}{2}} \right) \\[5px]
\end{整列}

\begin{整列}
&\boxed{\dot V =\tfrac{2}{3} \sqrt{2g} \cdot b \cdot \left(\sqrt{h_l^3} – \sqrt{h_u^3} \right)} \\[5px]
\end{整列}

示された深さ hu と hl はタンクの底ではなく、液体の表面を指すことに注意してください。

実際の放電プロセス

排出係数

タンクの排出プロセスに関する理論的予測と実際の測定値を比較すると、場合によっては非常に大きな差異が見つかることがあります。実際には、タンクの排水は通常よりずっとゆっくりと行われます。

したがって、式 (\ref{dV}) による流出流量は、実際にはより低くなります。理想排出量の減少は、 いわゆる排出係数で考えることができます。 CD<1:

\begin{整列}
&\dot V_{\text{現実}} =C_d \cdot V_{\text{理想}} \\[5px]
\label{t}
&\boxed{\dot V_\text{real} =C_d \cdot A_d \sqrt{2gh} ~} ~~~\text{and } C_d <1 ~~~\text{放電係数}\\[5px]
\end{整列}

流量係数は、実際の流量が理想流量と比較して減少する係数を示します。 2 つの現象が流量係数に大きな影響を及ぼします。これについては、以下で詳しく説明します。

粘度 (内部摩擦)

オリフィスを通して排出すると、液体内に電流が発生します。これは、液体の層が他の層よりも速く移動することを意味します。これは特に、 オリフィスに向かって流れる液体が切り取られる吐出口付近に当てはまります。 周囲の層で。 摩擦 液体層の変化は、層内の分子間の結合力によるものです。これらはファンデルワールス力のいずれかです。 (双極子間相互作用 ) または水素結合 .

液体の層を別の層に移動するには、これらの結合力に打ち勝つ必要があります。したがって、力学における摩擦力に似たこれらの結合力によって、液体層が互いに剪断されるのが妨げられます。これが、 液体の場合内部摩擦についても言及される理由です。 。結合力が強いほど、液体層が移動するときの内部摩擦が大きくなります。内部摩擦の大きさは粘度によって表されます

速度係数

実際に液体が理論的に予想されるよりも遅い速度で出口を流れる理由は粘度にあります。吐出速度の減少は、 いわゆる速度係数で考えることができます。 Cv<1 式 (\ref{tl}):

\begin{整列}
&v_\text{d,real} =C_v \cdot v_\text{d,ideal} \\[5px]
\label{vvv}
&\boxed {v_\text{d,real} =C_v \cdot \sqrt{2gh}} ~~\text{and } C_v<1 ~\text{速度係数} \\[5px]
\end{整列}

速度係数の実験による決定

水平方向の放出の場合、速度係数はジェットの軌道から決定できます。空気摩擦を無視すると、ジェットは水平方向に一定の (放出) 速度 vd,real を維持します。したがって、ジェットは時間 t 以内に次の距離 x を移動します。

\begin{整列}
&x =v_{\text{d,real}} \cdot t \\[5px]
\end{整列}

時間 t 以内に、重力によりジェットの下向きの動きが加速されます (自由落下)。垂直方向の落下距離 y については、次の式が適用されます。次に、この方程式は時間 t について解かれ、上記の方程式で使用され、吐出速度 vd,real に関して解かれます。

\begin{整列}
&y =\frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 ~~~~\Rightarrow ~~~~t =\sqrt{\frac{2y}{g}} \\[5px]
&x =v_{\text{d,real}} \cdot t =v_{\text{d,real}} \cdot \sqrt{\frac{2y}{g}} \\[5px]
&\underline{v_{\text{d,real}} =x \cdot \sqrt{\frac{g}{2y}}} \\[5px]
\end{整列}

この方程式は方程式 (\ref{vvv}) と同等視され、速度係数 Cv に関して解かれます。

\begin{整列}
&C_v \cdot \sqrt{2gh} =x \cdot \sqrt{\frac{g}{2y}} \\[5px]
&\boxed{ C_v =\frac{x}{2 \sqrt{hy}}} \\[5px]
\end{整列}

速度係数を実験的に決定するには、軌道の 1 点 (x と y で表される) のみを決定する必要があります。このような軌道に関するテストでは、水などの低粘度の液体の速度係数が約 0.95 以上であることが示されています。

したがって、放出速度のわずかな減少だけが、理論上の放出速度と観察された放出速度との間の比較的大きな偏差の原因であるとは考えられない。これには、さらに大きな現象が影響しているはずです。これについては、次のセクションで詳しく説明します。

流線の収縮

合理化

実際には、吐出の位置と形状が体積流量の偏差に決定的な影響を与えることがわかっています。この影響は、タンクと出口開口部の間の鋭いエッジの移行部で特に顕著です。タンクに開いた単純な穴は、非常に鋭いエッジです。下の図は、底の丸い穴から排出されるタンクを示しています。流路は、 いわゆる流線によって可視化されます。 （下図の白線）。このような流線は、質量のない粒子が流体中に置かれた場合に流れる経路です。

流線は、質量のない粒子が流体とともに流れるときにたどる軌跡です。

可視化された流線は、なぜこれまでのモデルの予測よりも低い流量が実際に観察されるのかという疑問に対する答えも提供します。実際には、流出する液体は断面から完全に垂直に流出するわけではなく、開口部はほとんどが側面から流れます。物理的な観点から見ると、流路（流線）は直角に曲がることはできません。これを行うには、慣性なしに力に従うことができるように、流体が質量を持たない必要があります。

収縮係数

したがって、実際には、放出されるジェットの断面積は出口の断面積よりも小さくなります。この断面は、流線が実際に下向きに平行に走っており、開口部の下流に位置します。これは、基礎として取らなければならない排出 Ad,real の実際の断面です。この断面積は有効断面積とも呼ばれます。 。流線が狭くなり、その結果としてジェット断面積が減少する現象は大静脈収縮としても知られています。 .

大静脈収縮という用語は、断面の変化による流線の収縮、つまり、ジェットの断面が実際の管の断面よりも小さくなる現象を指します。

ジェット断面積の減少は、 いわゆる収縮係数によって考慮されます。 Cc.これは、実際のジェット断面積 Ad,real と吐出断面積 Ad の比率を示します。

\begin{整列}
&\boxed {A_\text{d,real} =C_c \cdot A_\text{d} } ~~~\text{and } C_c<1 ~~~\text{収縮係数} \\[5px]
\end{整列}

流量係数、流速係数、収縮係数の関係

実際には、速度低下の現象と流線収縮のはるかに大きな影響の両方が体積流量に影響を与えます。流量が式 (\ref{vd}) に従って実際の値に基づいている場合、吐出係数 Cd、収縮係数 Cc、および速度係数 Cv の間に次の関係が明らかです。

\begin{整列}
\dot V_\text{d,real} &=A_\text{d,real} \cdot v_\text{d,real} \\[5px]
&=\underbrace{ C_c \dot A_d}_{ A_\text{d,real} } \cdot \underbrace{C_v v_d}_{ v_\text{d,real} } \\[5px]
&=C_c \cdot C_v \cdot A_d v_d ~~~\text{and }~~~ v_d=\sqrt{2gh} ~~~\text{:}\\[5px]
\label{u}
&=\underbrace{ C_c \cdot C_v }_{=C_d } \cdot A_d \sqrt{2gh} \\[5px]
\end{align}

\begin{整列}
&\boxed{\dot V_\text{d,real} =C_d \cdot A_d \sqrt{2gh}} ~~~\text{und}~~~ \boxed{ C_d =C_c \cdot C_v } \\[5px]
\end{align}

If one compares equation (\ref{u}) with equation (\ref{t}), then it becomes apparent that the discharge coefficient Cd results from the product of the contraction coefficient Cc and the velocity coefficient Cv. Since the coefficient of velocity for fluids commonly used in practice is usually negligible compared to the coefficient of contraction, the coefficient of discharge is decisively determined by the vena contracta. In practice, however, one is usually only interested in the discharge coefficient anyway, so that the velocity coefficient and the contraction coefficient are not determined separately.

Experimental determination of the coefficient of discharge

The coefficient of discharge directly influences the time required to empty a container. The discharge coefficient has therefore a direct impact on the equation (\ref{gl}) and increases the discharge time accordingly:

\begin{整列}
&\boxed{t =\frac{1}{ C_d } \cdot \frac{A}{A_d} \sqrt{\frac{2}{g}} \left(\sqrt{H}-\sqrt{h}\right)} \\[5px]
\end{align}

In practice, one only has to determine the time t during which the liquid level decreased from the level H to the level h. Solving the above equation with respect to the discharge coefficient:

\begin{整列}
&\boxed{ C_d =\frac{1}{t} \cdot \frac{A}{A_d} \sqrt{\frac{2}{g}} \left(\sqrt{H}-\sqrt{h}\right)} \\[5px]
\end{align}

Influence of the shape of the outlet on the coefficient of discharge

Round openings

In the case of a round hole in a tank, the coefficient of discharge for water is about 0.65. In practice, a high discharge coefficient is usually desirable in order to get as close as possible to the ideal (maximum) volumetric flow rate. This requires a adaptation of the opening shape.

Since the discharge coefficient is decisively determined by the vena contracta, the contraction of the streamlines must be kept as low as possible. This is achieved by adjusting the geometry of the opening. A simple possibility is to use pipe sockets 。 The liquid then does not flow out of the tank straight away, but is led through a short piece of pipe.This ensures that the streamlines can be arranged parallel again and can occupy the entire cross-section.

In order to achieve an optimal effect, pipe sockets should be about 2 to a maximum of 3 times as long as their diameter. Within this range, it is possible to increase the discharge rate by about 25 % compared to the discharge at sharp-edged openings leading directly into the environment. For reasons of increased pipe friction, the pipe sockets should be kept as short as possible.

A further increase in the discharge rate can be achieved by rounding out the edges (“fairing”) so that the streamlines are smoothly guided around these edges. In this way, discharge coefficients above 0.9 and higher are possible.

In contrast, the discharge can also be made considerably less favourable than with a hole. For example, if a short pipe socket does not protrude from the tank, but into it. Then the streamlines make very strong changes with a more pronounced vena contracta. Such an unfavourable arrangement of a pipe socket is also called Borda’s opening 。 The coefficients of dicharge are about 0.53.

Rectangular openings

Until now, round openings were tacitly assumed. Above all, however, when liquids discharge sideways, the shape of the cross-section has a very strong influence on the coefficient of discharge. With rectangular openings, it is always unfavorable if liquid flows into the opening from the side. In this way the streamlines show very strong changes in direction. Therefore, the opening height should be kept as low as possible and the width should be greater than the height.

For square openings where the opening height corresponds to the opening width, the discharge coefficient is about 0.58. If the opening height is twice as large as the opening width, the discharge coefficient drops to about 0.44. If the opening height is only half the opening width, the discharge coefficient rises to 0.64. Although the opening height can be further reduced, a maximum discharge coefficient of 0.67 can be achieved with rectangular openings.