浮力を理解する:ボートが浮く仕組みと流体変位の原理

浮力とは、物体が流体 (液体または気体) に浸されたときに受ける、重力に逆らう力です。

はじめに

誰もが他人を持ち上げようとして、かなりの力が必要であることに気づいたかもしれません。しかし、この人を水の中で持ち上げようとすると、はるかに簡単になります。この理由は、 いわゆる浮力によるものです。 、物体が液体に浸かるとすぐにこれを経験します。この浮力は 重量トンの鋼鉄船でさえ沈まずに水に浮かぶという事実にも責任があります。浮力の原因については、この記事で詳しく説明します。

浮力のデモンストレーション

次の実験は、浮力の効果を実証します。 バネ秤 (ニュートン メートル ) は金属製の直方体に取り付けられています。底には触れずに、金属片を水の入ったコップに徐々に浸し、ニュートン メーターを観察します。

金属片が水に到達すると、浸漬深さが増すにつれてニュートン メーターの指示値は着実に減少します。直方体が完全に水に沈んで初めて、バネ目盛りは再び一定の値を示します。金属ブロックの質量は変わらないため、力の減少は重量の減少とは何の関係もありません。むしろ、重力に逆らう浮力は、浸水深さが増すにつれて増加します。浮力は、水中で体が軽くなったように見える量に相当します。

物体が液体に深く沈めば沈むほど、それに作用する浮力は大きくなります。浮力は常に重力と反対の方向に向けられます。

浮力:アルキメデスの原理

科学者アルキメデス 浮力現象を実験しました すでに紀元前250年前彼は、水没した物体が軽くなったように見える浮力が移動した液体の重さに対応していることを示すことができました。 。 置換された液体という用語 体が水に浸かったときに流れ出なければならない液体の量を指します。これは、人体が水に浸かったときに、グラスの縁まで満たされたときに理論的に溢れる液体の量です。このオーバーフローした液体の重さが浮力に相当します。このステートメントはアルキメデスの原理とも呼ばれます。 .

アルキメデスの原理によれば、浮力は移動した液体の重量に対応します。

物体が液体に完全に浸されると、押しのけられた液体の体積は明らかに浸漬された体の体積に対応します。たとえば、アルミニウム製の 54 g の金属直方体の底面積が 4 cm2 の正方形、高さが 5 cm の場合、体積は 20 cm3 (20 ml) になります。したがって、完全に水に浸すと、直方体は 20 ml の液体の体積を押しのけます。水の密度が 1 g/cm3 の場合、これは 20 g の置換された水の質量に相当します。したがって、54 g の金属立方体は、水中では 20 g 軽く感じられます。したがって、ばねスケールは 540 mN ではなく 340 mN のみを示します。

物体の水没により重量は変化しませんが、重量に対する浮力が働くため、合力が減少することに注意してください。したがって、大衆と議論するのではなく（たとえこれがより説明的なものであっても）、勢力と議論することが賢明です。物体の重量が \(F_g\) で表され、それに反作用する浮力が \(F_b\) で表される場合、物体が経験する合力 \(F_{res}\) は次のように適用されます。

\begin{整列}
\label{res}
&\boxed{F_{res} =F_g – F_b} \\[5px]
\end{整列}

金属ブロックが液体に完全に浸かっておらず、部分的にしか浸されていない場合、明らかにそれほど多くの水を置換しません。物体は、その体積が実際に沈むのと同じ量の液体のみを移動させます。体の体積の半分だけが水没した場合、体は水の半分だけを追い出します。したがって、浮力は半分しかありません。 \(\Delta V\) が水没した物体の体積 (=移動した液体の体積)、\(\rho_l\) が液体の密度を表す場合、移動した液体の質量 \(\Delta m\) は次のように計算できます。

\begin{整列}
&\Delta m =\Delta V \cdot \rho_l \\[5px]
\end{整列}

変位した液体の重量としての浮力 \(F_b\) については、最終的に次のように適用されます。

\begin{整列}
&F_b =\Delta m \cdot g \\[5px]
\label{アーチ}
&\boxed{F_b =\Delta V \cdot \rho_l \cdot g} \\[5px]
\end{整列}

浮力の導出

浮力は、水中に沈んだ体の上部と下部で異なる静水圧によって発生します。簡単にするために、周囲の液体に完全に浸かっている直方体のオブジェクトを再度考えます。

液体圧力の原因については、「液体の圧力」の記事ですでに詳しく説明されています。それらは液体表面より下の深さからのみ生じます。点が液体表面より深くなると、液体の圧力とその結果生じる力が大きくなります。このように、本体の底部に上向きに作用する力は、本体の上部に下向きに作用する力よりも大きくなります。したがって、浮力という力が効果的に上向きに作用します。

物体の底部の液体の圧力は、次のように深さ \(h_2\) から決定されます。

\begin{整列}
&p_2 =\rho_l \cdot g \cdot h_2 \\[5px]
\end{整列}

この式において、 \(\rho_l\) は液体の密度を表します。同様に、直方体の上部の深さ \(h_1\) の静水圧には、次が適用されます。

\begin{整列}
&p_1 =\rho_l \cdot g \cdot h_1 \\[5px]
\end{整列}

直方体の底面と上面にかかるそれぞれの力は、圧力と表面積の積 (\(F=p \cdot A\)) による圧力の定義に従って決定されます。この場合の表面積は、直方体の底面積 \(A\) です。

\begin{整列}
&\underline{F_2 =\rho_l \cdot g \cdot h_2 \cdot A} ~~~~~\text{or}~~~~~ \underline{F_1 =\rho_l \cdot g \cdot h_1 \cdot A} \\[5px]
\end{整列}

体を効果的に上方に押し上げる浮力 \(F_b\) は、力の差によって生じます。

\begin{整列}
&F_b =F_2 – F_1 \\[5px]
&F_b =\rho_l \cdot g \cdot h_2 \cdot A – \rho_l \cdot g \cdot h_1 \cdot A \\[5px]
\label{d}
&F_b =\rho_l \cdot g \cdot A \cdot \left(h_2-h_1\right) \\[5px]
\end{整列}

奥行きの差は、直方体の高さ \(h\) に正確に対応します。さらに、高さと底面積の積が水没した物体の体積 \(V_b\) に相当すると考えることができます。

\begin{整列}
&F_b =\rho_l \cdot g \cdot A \cdot \underbrace{\left(h_2-h_1\right)}_{=h} \\[5px]
&F_b =\rho_l \cdot g \cdot \underbrace{A \cdot h}_{=V_b} \\[5px]
\ラベル{アイン}
&\boxed{F_b =V_b \cdot \rho_l \cdot g}~~~~~\text{完全な水没時の浮力} \\[5px]
\end{整列}

物体が正確に位置する深さは浮力にとって重要ではないことに注意してください。方程式 (\ref{d}) から、上下の深さの差、つまり物体の高さのみが関係することはすでに明らかです*。オブジェクトのベース領域と組み合わせると、その体積への依存のみが生じます。わかりやすくするために、この式は直方体から導出されていますが、その体積 \(V_b\) が液体に完全に沈んでいる限り、原理的にはあらゆる形状のあらゆる物体に適用されます (任意の形状の物体も考慮した浮力のより一般的な導出については、次のセクション「アルキメデスの原理の導出」で示します)。 ”）。

*) このため、通常は静水圧に加えて作用する液体表面の周囲圧力も無関係になります。これは、 周囲の圧力が本体の上部と下部に均等に作用するため、 互いに打ち消し合うためです。

物体が (前の導出の場合のように) 液体に完全に浸されておらず、部分的にのみ浸されている場合、体積 \(V_b\) は、物体の体積 \(\Delta V\) (=置き換えられた液体の体積) の実際に浸っている部分のみを指します。浮力は、本体の底部の静水圧によってのみ生成されます。

\begin{整列}
F_b &=p \cdot A \\[5px]
&=\rho_l \cdot g \cdot \underbrace{h \cdot A}_{\Delta V} \\[5px]
\end{整列}

\begin{整列}
&\boxed{F_b =\Delta V \cdot \rho_l \cdot g} ~~~~~\text{一般に適用されます} \\[5px]
\end{整列}

この時点で、アルキメデスの原理もわかります。上の方程式では、置換された液体の体積 \(\Delta V\) と液体密度 \(\rho_l\) の積は、置換された液体の質量として解釈できます。さらに、移動した液体の質量 \(\Delta m\) と重力加速度 \(g\) の積により、移動した液体の重量 \(F_{g,dis}\) が求められます。

\begin{整列}
&F_b =\underbrace{\Delta V \cdot \rho_l}_{\Delta m} \cdot g \\[5px]
&F_b =\underbrace{\Delta m \cdot g}_{F_{g,dis}} \\[5px]
&\boxed{F_b =F_{g,dis}} \\[5px]
\end{整列}

任意の形状の物体に対するアルキメデスの原理の導出

前のセクションでの浮力の導出は、作用する力を比較的簡単に計算できる、比較的単純な形状を持つオブジェクトに基づいていました。導出された公式がそのような単純な形状の物体に適用できるだけでなく、アルキメデスの原理が任意の形状の物体にも適用できることを、以下に示します。

この目的のために、水で満たされた容器が考慮されます。 「液体中の圧力」の記事では、液体中の静水圧がその上の液柱の重さによって生じることをすでに詳しく説明しました。たとえば、左側の容器の底部の圧力を考えると、底部の液体の圧力は、上にある水の塊の重さによって生じます (物体はまだ水に浸かっていません)。

ここで、任意の形状の物体を水に沈めると、一定の浮力が生じます。 ニュートンの第 3 法則によると （「作用＝反作用」）、水が物体に及ぼす浮力は、状況を逆の視点（水の視点）から見たときに、物体がさらに水に及ぼす力に相当します！したがって、船の底にかかる力は、水の重さ \(F_{g,water}\) と浮力 \(F_b\) の合計によって決まります。

\begin{整列}
\label{ファ}
&F_{底} =F_{g,水} + F_b \\[5px]
\end{整列}

水没した物体が液体中に浮いている場合、浮力は明らかに物体の重量に等しいことに注意してください (そうでないと物体は地面に沈んでしまいます)。この場合、容器の底には液体の重さだけでなく浮遊物の重さも作用していることが分かります。ただし、浮遊していない物体の一般的な場合 (バネ秤を使って水に浸した上記の金属直方体の場合など)、物体の全重量が水にかかるのではなく、重量から物体を保持する力を差し引いたものだけが水にかかります。この差は浮力に正確に対応します ( 図アルキメデスの原理の実証も参照) ）！したがって、容器の底に作用する合力は、一般に、液柱の重量と水没した物体の浮力の合計から生じます。

「液体中の圧力」の記事では、静水圧は水面下の考慮された深さによってのみ生じることをすでに詳細に説明しました。容器の底の圧力に関しては、水に沈んだ物体を含む水は、水だけが満たされている容器と同じように動作し、したがって同じ水位になります (容器連通の原理)。上の図の右側の 2 つの容器を参照してください。したがって、人は水に浸かった体の容積が水で満たされていると想像できます。これは明らかに容器の底にも同じ影響を及ぼします。

この観点から見ると、容器の底に作用する力は、仮想浸漬体積の外側の水の重量 (\(F_{g,water}\)) と仮想の浸漬体積内の水の重量 (\(F_{g,dis}\)) の合計から生じます。後者は、前の視点で水没した物体が押しのける水の重量に対応します。したがって、これは 2 番目のアプローチに当てはまります。

\begin{整列}
\label{fb}
&F_{底} =F_{g,水} + F_{g,dis} \\[5px]
\end{整列}

どちらのアプローチも明らかに容器の底に同じ力をもたらすため、方程式 (\ref{fa}) と (\ref{fb}) は同等であると考えることができます。

\begin{整列}
\require{キャンセル}
&\bcancel{F_{g,water}} + F_b =\bcancel{F_{g,water}} + F_{g,dis} \\[5px]
&\boxed{F_b =F_{g,dis}} \\[5px]
\end{整列}

これは、水中に沈んだ物体の形状に関係なく、浮力が移動した液体の重量に直接対応していることを示しています。

沈む、上がる、浮かぶ

完全に水中に沈んだ物体が特定の浮力で沈むか、浮き上がるか、浮くかは、物体の重量によって決まります。

物体の重量が浮力よりも大きい場合、方程式 (\ref{res}) に従って、地面に加わる力の差によって物体は下降します。これは、物体がばね秤に取り付けられたときにばね秤が示す力に相当します。一方、水中に沈んだ物体の浮力がその重量よりも大きい場合、その力の差によって物体は水面に浮上します。この合力を表示するには、ばね秤を物体に下から取り付ける必要があります。ただし、浮力が重量と等しい場合、物体は液体中で「無重力」に浮いているように見えます。付属のばね秤は合力を示しません。液体中のこの見かけの無重力は、たとえば、宇宙飛行士が宇宙ミッションに備えるために利用されます。

均質な物体の場合、その重量は体の体積 \(V_b\) と体の密度 \(\rho_b\) によって決まります。

\begin{整列}
&F_g =\overbrace{V_b \cdot \rho_b}^{m_b} \cdot g \\[5px]
\end{整列}

この時点で、方程式 (\ref{ein}) に従った浮力が使用される場合、方程式 (\ref{res}) により、完全に水に浸かった物体には次の合力が作用します。

\begin{整列}
&F_{res} =F_g – F_b \\[5px]
&F_{res} =V_b \cdot \rho_b \cdot g – V_b \cdot \rho_l \cdot g \\[5px]
\label{アウフ}
&\boxed{F_{res} =V_b \cdot g \cdot \left( \rho_b – \rho_l \right)} ~~~\text{完全浸漬時の合力}\\[5px]
\end{整列}

この公式を使用すると、下降、上昇、または浮上の条件を明確に説明できるようになります。水没した物体の密度が周囲の液体の密度よりも大きい場合、物体を地面に向かって引きずる正の力が生じます。一方、物体の密度が液体の密度より小さい場合、結果は負の力になります。これは、力の方向が逆転し、水中に沈んでいた物体が水面に引き上げられることを意味します。物体の密度が液体の密度に正確に一致する場合にのみ、合力は消滅します。体は液体の中で力なく浮いているように見えます。

均質であると仮定される物体の考察は、不均質な物体、すなわち、特に異なる材料、したがって異なる密度からなる物体にも拡張することができる。この場合、不均質体の密度 \(\rho_b\) は平均密度を指します。 つまり、物体の総質量 \(m_b\) をその総体積 \(V_b\) と呼ぶ場合に、数学的に得られる平均密度です。

\begin{整列}
&\boxed{\rho_b =\frac{m_b}{V_b}} ~~~~~\text{平均密度} \\[5px]
\end{整列}

浸された物体の平均密度が周囲の液体の平均密度よりも小さい場合、物体は表面に浮きます。平均密度が大きい場合、物体は底に沈みます。密度が同じであれば、物体は液体中に浮きます。

これは、重量トンの鋼船でも浮くことができる理由も説明します。船の平均密度は周囲の水の密度よりも低くなります。これは、船の船体が巨大な鋼鉄の船体ではなく、単なる鋼鉄の船体であるという事実によって実現されます。内部は主に空気で構成されています。船体の体積に比べて、船体の質量は比較的小さいため、平均密度は低く、少なくとも周囲の水よりもかなり低い（平均）密度です。したがって、船体は、水没しすぎた場合でも大きな浮力が発生し、船全体を水面上に保つことができます。

一方、水が船体に浸透すると、比較的軽い空気が浸透する重水に取って代わられ、平均密度が増加します。平均密度が周囲の水の密度より大きい場合 (遅くとも船体全体が水で満たされるとき)、船は沈没します。

空気と水による浮体の平均密度の目標制御は、例えば潜水艦で見られます。このようにして、水中での浮遊だけでなく、狙った降下や上昇も可能になります。操縦に応じて、水または空気が特別なバラストタンクにポンプで送り込まれます。たとえば、降下中、空気で満たされたタンクは水で満たされ、潜水艦の平均密度は周囲の水の密度よりも高くなります。しかし、潜水艦が上昇すると、タンク内の水は圧縮空気の助けを借りて押し出されます。潜水艦の平均密度は低下し、最終的には上昇します。水に浮かんでいるとき、タンクは部分的に水または空気で満たされているだけなので、平均密度は周囲の水の密度と正確に一致します。

周囲の媒体よりも密度が低い物質は上に上昇し、密度が高い物質は下に沈むという事実も、海流に大きな影響を与えます。とりわけ、これらの流れは、冷たいため重い水は下に沈み、暖かいため軽い水は上に上昇するという事実によるものです。ただし、これらの密度の違いは温度の影響だけでなく、塩分によっても引き起こされます。密度は、塩分の少ない地域よりも塩分濃度の高い水域の方が高くなります。

浸漬深さ (ドラフト)

物体が液体中を上昇するとき、経験上、物体は完全に液体から出てこないことがわかっています。ある部分は液面下に残り、残りは液面上に浮きます。これを示す日常的な例としては、船体が明らかに部分的にしか水に浸かっていない船舶があります。もちろん、この浸水の深さをどのように決定するかという問題が生じます。これは、 船舶の場合は喫水とも呼ばれます。 ドラフトの .

物体が浮いている場合、当然沈みも浮きもありません。したがって、物体には合力が作用せず、下向きに作用する重量と上向きに作用する浮力との間に力のバランスがとれます。

\begin{整列}
&F_{res} =F_g – F_b \overset{!}{=}0 \\[5px]
&\underline{F_b =F_g} \\[5px]
\end{整列}

したがって、重量は浮力と同じくらい大きくなります。アルキメデスの原理によれば、浮力自体は押しのけられた液体の重量に相当します。したがって、物体が水面に浮かんでいると、押しのけられた液体の重さ (=浮力) が物体の重さに一致するまで、物体は水中に沈みます。液体表面の下の物体の体積が周囲の液体で完全に満たされると想像すると、この重量は物体の重量に相当します。たとえば、質量が 50,000 トンの船は非常に深く沈むため、水没した体積によって 50,000 トンの水が押しのけられます。

浮遊しているとき、物体はその重さと同じ量の液体を押しのけるほどの深さまで沈みます。

したがって、物体の浸漬深さは、それ自体の質量だけでなく、周囲の液体の密度にも依存します。たとえば、船は海水よりも淡水の方が喫水が強くなり、より深く沈みます。塩が溶けているため、海水の密度は淡水の密度より約 3 % 高くなります。したがって、船は「重い」塩水と同じ質量の水を移動させるために、「軽い」淡水にさらに強く浸漬する必要があります。

船舶の場合、最大許容喫水はいわゆるプリムソール マーク で示されます。 周囲の水（密度）によって異なります。このマークは船体の側面にあります。船尾に向かう上の 2 本の線は、一般的な淡水での許容喫水 (F) を示しています。 ) または熱帯淡水 (TF) ）。船首に向かう他の 4 本の線は、海水中で許容される喫水を示します。海水では水の密度が高いため船の浮力が高くなるため、これらは淡水の痕跡と比較して低い位置にあります。熱帯海水 (T) は区別されます。 ）、夏は海水（S） ) と冬 (W) ) および冬の北大西洋海域の間 (WNA) ).

船のプリムソルマークは、周囲の水域（密度）に応じて許容される喫水を示します。

このプリムソール マークの例は、周囲の液体が「重く」なるほど、つまり液体の密度が高くなるほど、浮力が強くなることも示しています。これは、液体の密度が浮力に直接影響する方程式 (\ref{arch}) からも直接わかります。この事実は死海で入浴する際にも見ることができます。塩分濃度が 30% 以上と非常に高いため、死海の水の密度は淡水に比べて約 4 分の 1 高くなります。したがって、浮力も淡水よりも約 25 % 大きくなります。これは、泳がなくても死海に浮かぶという事実につながります。

見通し

この記事では分かりやすくするために液体を取り上げましたが、液体だけでなく気体にも浮力が作用しており、最終的には同じ原因に基づいています。これについては、「気体中の浮力」の記事で詳しく説明されています。