気圧の計算式を理解する:高度と気圧

気圧の公式は、高度の上昇に伴う気圧の減少を表します。

はじめに

海面では大気圧は約 1 バールです。しかし、実際にやってみると、高度が上がるにつれて気圧はどんどん低下することがわかります。たとえば、標高 2,000 メートルの山では、大気圧はわずか約 0.8 気圧です。標高 8848 メートルのエベレストでは、空気の圧力はわずか 0.3 バールです。

粒子モデルを使用すると、この現象を明確に理解できます。結局のところ、どんなに小さくても、すべての気体分子には質量があります。これは、ガス粒子も重力の影響を受けるという事実につながります。粒子間には永続的な衝突が発生し、分子はランダムな方向に飛び去っていくように見えます。しかし、特に寸法が非常に大きい場合、重力の影響で空気分子が地表にかなり近くなっていることがわかります。この地球の重力により、空気の分子はいわば下に引っ張られ、そこで他の空気の粒子と衝突し、再び空気中に飛び散ります。

この動作はモデルで鮮明に再現できます。この目的のために、ボールを垂直なガラス管に充填します。ガラス管は振動板の上に立っています。振動によりボールにランダムな速度が与えられます。これにより、空気中の分子と同じように、ボールが互いに永続的に衝突します。ボールは、実際の空気分子と同じように、ランダムな高度に飛び散ります。

最後に、ボールの大部分が振動板の近くに位置していることが観察できます。高さが増すにつれて、ボールの密度は減少します。これは、ボールが数回空中に飛び出すような方法で衝突するボールはほんの数個だけであるためです。このような高さ方向の密度分布は空気分子にも見られます。また、高度が上がるにつれて、そのような高さまで到達できる空気分子の数がますます少なくなるため、空気の密度もますます減少します。これは、多くの登山家が高地で圧縮空気ボトルに追加の酸素を入れて携行する理由でもあります。なぜなら、空気分子の数が少ないと、体に酸素を供給するのに十分ではなくなるからです。

空気密度の低下も、気圧の低下に直接関係します。気体の圧力の記事では、 気体中の圧力は分子と界面の衝突によって引き起こされることについてすでに詳しく説明しました。 コンテナの壁やピストンのようなものです。したがって、粒子密度の減少は、衝突の数の減少も意味します。これにより、ガス圧力が低下します。

高度が上がるにつれて気圧が低下するのは、空気密度が減少するためです。大気密度の減少は、空気粒子も地球の重力の影響を受けるため、地表により近く留まるという事実によるものです。

高度の上昇に伴う圧力の減少は力のバランスから数学的に導き出すことができます。 。この目的のために、任意の高度 h にある底面積 A および厚さ Δh の空気の薄い層を考慮します。この層内の空気は一定の質量 Δm を持っています。空気層は目に見えないエンベロープで囲まれている、 つまり一種の空気小包として想像できます。 。この空気層が静止していると考えると、周囲の空気と平衡状態にあります。原則として、このような力のバランスは、空気塊が一定の速度で上下に移動する場合にも当てはまりますが、その場合は摩擦力を考慮する必要があります。

この平衡に基づいて、考慮された空気塊の下の気圧が必然的に上よりも高くなければならない理由を明確に理解することが可能になります。周囲の空気分子は、下からと上からの両方から空気塊と衝突することによって圧力を及ぼします。 上向きに作用する場合のみ 下側の圧力は下向きの作用よりも大きくなります。 上側に圧力がかかると、力が効果的に上向きに作用します。この上向きの力が空気小包の重量に対抗し、空気中での安定性 (つまり平衡状態) を保ちます。

空気層の重量が上向きの力と釣り合うように、考慮した空気層の下側の圧力は上側よりも高くなければなりません。

現在、大気は無数の薄い空気の層で構成されていると想像できます。したがって、層ごとに気圧は永続的に減少する必要があるため、各層は下側のより強い力によってバランスが保たれます。数学的により正確に説明するには、空気層に作用する力をさらに詳しく調べる必要があります。

特定の密度における高度の変化と気圧の変化との関係

この目的のために、まず、空気塊の底面の圧力をより詳しく調べます。底面に作用する空気圧 p によって生成される底面の上向きの力 Fb は、圧力と空気塊の底面積 A の積によって生じます。

\begin{整列}
&F_b =p \cdot A ~~~~~\text{航空小包の下側にかかる力} \\[5px]
\end{整列}

空気塊の上部では、気圧は一定量 Δp だけ低下します。したがって、この圧力が空気塊の上部に及ぼす下向きの力は次のようになります。

\begin{整列}
&F_t =\left(p-\Delta p \right) \cdot A ~~~~~\text{空気塊の上面にかかる力} \\[5px]
\end{整列}

空気塊の質量 Δm は、その体積 ΔV と存在する空気密度 ϱ から求めることができます (Δm=ΔV⋅ϱ)。すでに説明したように、空気密度は高度が上がるにつれて減少しますが、この場合は非常に薄い空気塊（空気層）のみを考慮しているため、この空気層内では一定の密度が仮定できます。 A を底面積、Δh を空気層の厚さとして、その重量は次のように計算できます。

\begin{整列}
&F_g =\Delta m \cdot g \\[5px]
&F_g=\Delta V \cdot \rho \cdot g \\[5px]
&F_g=A \cdot \Delta h \cdot \rho \cdot g ~~~~~\text{航空小包の重量} \\[5px]
\end{整列}

ここで、空気塊の上面に下向きに作用する重量 Fg と、同様に下向きに作用する力 Ft は、空気塊の下面にかかる上向きに作用する力 Fb と釣り合っていなければなりません。このようにして、高度変化Δｈ（空気層の厚さ）と、それに対応する圧力変化Δｐとの間には、以下の関係が導かれる。

\begin{整列}
\require{キャンセル}
&F_b \overset{!}{=} F_g + F_t \\[5px]
&p \cdot \bcancel{A} =\bcancel{A} \cdot \Delta h \cdot \rho \cdot g + \left(p-\Delta p \right) \cdot \bcancel{A} \\[5px]
&\bcancel{p} =\Delta h \cdot \rho \cdot g + \bcancel{p} – \Delta p \\[5px]
\label{dp}
&\underline{\Delta p =\rho \cdot g \cdot \Delta h} ~~~~~\text{高度の小さな変化にのみ適用されます}\Delta h \\[5px]
\end{整列}

この式は、高度の変化 Δh がそれほど大きくない場合にのみ有効であることに注意してください。そのような場合にのみ、(ほぼ) 一定の空気密度 ϱ が仮定できるからです。高度の変化が大きすぎると、空気層内の密度は一定ではなくなります。この場合、平均空気密度を考慮する必要があります。

特定の温度における高度の変化と気圧の変化との関係

実際には、100 メートル以内では空気密度は目立った変化はなく、一定であると考えられます。地上付近の空気密度が約 1.2 kg/m3 であると仮定すると、上記の式により、高度 100 メートルでは約 12 mbar の気圧変化が発生します。

\begin{整列}
&\Delta p =\rho \cdot g \cdot \Delta h =1.2 \tfrac{\text{kg}}{\text{m3}}\cdot 10 \tfrac{\text{N}}{\text{kg}} \cdot 100 \text{ m} =120 \text{ Pa} =12 \text{ mbar} \\[5px]
\end{整列}

たとえば、地上の気圧が 1.0 bar だった場合、高度 100 メートルでは 12 mbar 低下し、合計 0.988 bar になります。高度 200 メートルの気圧を計算するために、次の 100 メートルについても同じ計算を行うことができます。ただし、高度が異なるたびに空気密度がわずかに変化することに留意する必要があります。高度が上がるにつれて空気は薄くなります、つまり空気密度が減少します。したがって、新しい圧力ごとに、新しい空気密度を基準として使用する必要があります。

これは、たとえば、密度と圧力が温度によって相互に直接関係する理想気体の法則によって行うことができます。

\begin{整列}
\label{理想}
&\boxed{p=R_s \cdot \rho \cdot T}~~~~~\text{理想気体法} \\[5px]
\label{ロー}
&\rho=\frac{p}{ R_s \cdot T }\\[5px]
\end{整列}

この式において、T はケルビン単位の熱力学的温度を示し、Rs は比ガス定数を示します。この場合、比気体定数 Rs=287 J(kg・K) の乾燥空気が仮定されます。方程式 (\ref{rho}) を方程式 (\ref{dp}) で使用すると、特定の温度における圧力の変化を求めることができます。

\begin{整列}
&\Delta p =\rho \cdot g \cdot \Delta h \\[5px]
&\Delta p =\frac{p}{ R_s \cdot T } \cdot g \cdot \Delta h \\[5px]
\label{dr}
&\underline{\Delta p =\frac{g}{ R_s \cdot T } \cdot p \cdot \Delta h} \\[5px]
\end{整列}

この方程式は方程式 (\ref{dp}) と比較してどのような利点がありますか? 結局のところ、高度が増加すると密度だけでなく温度も低下することがわかっているためです (両方とも未知の変数)。これは原理的には正しいですが、高度が上がるにつれて温度の変化は密度に比べて小さくなります。したがって、高度の差が小さい場合、温度が一定であるという仮定の方が、密度が一定であるという仮定よりも正当であることが通常です。

たとえば、高度 10 km 未満では、空気密度は高度 100 メートル以内で平均約 1.5 % 減少します (温度変化を含む)。これと比較すると、温度 (ケルビン単位!) は平均で約 0.4 % しか低下しません。したがって、温度変化の影響は密度変化の影響の 1/3 にも満たないことになります。記事「断熱大気の気圧計算式」では、圧力曲線に対する温度低下の影響について詳しく説明しています。

ただし、簡単にするために、以下では常に一定の温度を仮定します。この文脈では等温大気についても話します。 。同様に、高度の上昇に伴う重力加速度の減少は考慮されるべきではなく、大気組成の変化にもかかわらず、比ガス定数は一定であると見なされるべきです。

実際、重力加速度の減少は通常、実際には何の役割も果たしません。高度 100 km までは、重力加速度は 3 % しか減少しません。いずれにせよ、気象に関係するのは下層 15 km、いわゆる対流圏 (「気象層」) だけです。また、高度 100 km 未満では、大気ガスはそれまで十分に混合されているため、化学組成の影響は影響しません。したがって、高度 100 km より下では、均質圏についても話されます。以下の図とアニメーションは、地球の大気をさまざまな層に分類したものを示しています。この階層化 は、これらの層内のさまざまな温度または特性温度曲線に基づいています (詳細については、記事「断熱大気の気圧式」を参照してください)。

式 (\ref{dr}) を使用するときは、数学的な意味での高度の正の変化 (Δh>0) は、圧力の負の変化 (Δp<0) をもたらすことに常に留意する必要があります。これは、圧力は高度の上昇とともに最終的に低下するためです。したがって、数学的に正しく定義するには、上の方程式に負の符号を付ける必要があります。これは、以下で導き出される気圧の計算式にとって重要になります。

\begin{整列}
\ラベル{a}
&\boxed{\Delta p =-\frac{g}{R_s \cdot T} \cdot p \cdot \Delta h} ~~~~~\text{高度の小さな変化にのみ適用されます }\Delta h \\[5px]
\end{整列}

気圧と高度変化の関係

前のセクションで説明したように、まず高地の気圧変化を、たとえば 100 メートルの小さな空気層に分割することをお勧めします。次に、すべての圧力変化を合計して総圧力変化にする必要があります。ただし、この手順は非常に複雑です。現時点では、微分積分または積分は、より単純でより一般的な方法を提供します。

この目的のために、巨視的な高度差はますます小さく選択されます。限定的な場合、人は無限小、つまり無限に小さい高度差または気圧差を受け取ります。巨視的変化ΔhまたはΔpとは対照的に、最終的に対応する微分dhおよびdpが得られます。遅くともこの時点では、個々の空気層内の一定の密度または一定の温度の問題も解決されます。これは、いずれにせよ、以下では無限に小さな高度の差が考慮されるためです。

微小な高さの差 dh とその結果として生じる微小な圧力変化 dp との関係については、方程式 (\ref{a}) が引き続き適用されます。

\begin{整列}
\label{c}
&\boxed{\text{d}p =-\frac{g}{R_s \cdot T} \cdot p \cdot \text{d} h} \\[5px]
\end{整列}

変数 p に関連する微分 dp が等号の左側に再配置され、関連する両方の変数が方程式の右側の微分 dh から完全に分離されます (変数の分離と呼ばれます)。

\begin{整列}
&\frac{1}{p} ~ \text{d}p =-\frac{g}{R_s \cdot T} \cdot p \cdot \text{d} h \\[5px]
\end{整列}

方程式の両辺を対応する制限内で統合する必要があります。高度 h0 における特定の圧力 p0 から出発して、任意の高度 h における圧力 p は以下の式で決定できます。温度、重力加速度、比ガス定数は定数であるとみなされることに注意してください。

\begin{整列}
&\int_{p_0}^{p}\frac{1}{p} ~ \text{d}p =\int_{h_0}^h-\frac{g}{R_s \cdot T} \cdot \text{d} h \\[5px]
&\int_{p_0}^{p}\frac{1}{p} ~ \text{d}p =-\frac{g}{R_s \cdot T} \cdot \int_{h_0}^h \text{d} h \\[5px]
&\left[\ln{\left( p\right)}\right]_{p_0}^p =-\frac{g}{R_s \cdot T} \cdot \left[~h~\right]_{h_0}^{h}\\[5px]
&\ln{(p)}-\ln{(p_0)}=-\frac{g}{R_s \cdot T} \cdot \underbrace{\left(h-h_0\right)}_{\Delta h}\\[5px]
\end{整列}

高度 h (圧力 p が決定される) と初期高度 h0 (初期圧力 p0 が存在する) の差は、高度の変化 Δh に対応します。

\begin{整列}
&\ln{(p)}-\ln{(p_0)}=-\frac{g \cdot \Delta h}{R_s \cdot T} \\[5px]
\end{整列}

方程式の左辺も少し整理することができます。アルゴリズムの恒等式により、2 つの対数量の差は、これらの量の対数商 [ln(a)-ln(b)=ln(a/b)] として表すこともできます。

\begin{整列}
&\ln{\left(\frac{p}{p_0}\right)}=-\frac{g \cdot \Delta h}{R_s \cdot T} \\[5px]
\end{整列}

圧力 p に関してこの方程式を解くには、方程式の両辺を指数関数の指数に代入します。

\begin{整列}
&\text{e}^{\Large{\ln{\left(\frac{p}{p_0}\right)}}}=\text{e}^{\Large{-\frac{g \cdot \Delta h}{R_s \cdot T} }}\\[5px]
\end{整列}

自然対数 (「ln」) は指数関数の逆関数にすぎないため、一般に次の関係が適用されます:eln(a)=a。したがって、上の方程式の左側は商 p/p0 に対応します。このようにして、基準レベルから Δh 上の特定の高さにおける圧力 p は、基準圧力 p0 を使用して計算できます。

\begin{整列}
&\frac{p}{p_0}=\text{e}^{-\frac{g \cdot \Delta h}{R_s \cdot T} }\\[5px]
\label{バー}
&\boxed{p(\Delta h)=p_0 \cdot \text{e}^{\Large{-\frac{g \cdot \Delta h}{R_s \cdot T}}}} ~~~~~\text{気圧式} \\[5px]
\end{整列}

この式は最終的に気圧式と呼ばれます。 既知の圧力 p0 を使用して、基準レベルより上の高度 Δh の関数として圧力 p を示します。式 (\ref{a}) と比較して、気圧式は高度が高くても高い精度を提供します。ただし、この式は、温度や重力加速度、特定の気体定数 (つまり、大気の組成) が高度によって変化しないという仮定に基づいて導出されたことにも注意する必要があります。したがって、厳密に言えば、この公式は、これらの条件が適切に近似的に満たされる低高度に対してのみ有効です。

海面 (h0=0) での標準気圧 p0=1.013 bar、温度 T0=288 K (15 °C)、比ガス定数 Rs=287 J(kg⋅K) の場合、高度 3 km 以下の標準大気と比較した気圧式の偏差は最大 1 % です。高度 6 km では偏差は約 5 % に増加し、さらに増加し​​続けます。高度 12 キロメートルでは、偏差は約 27 % に達します。偏差は主に、考慮されていない温度変化によるものです。

気圧の計算式は、温度だけでなく、基準レベルの密度でも表すことができます。これを行うには、気圧式の特定の気体定数と温度の積 (\ref{bar}) が、理想気体の法則 (\ref{bar}) に従って圧力と密度の商に置き換えられます。

\begin{整列}
&p=R_s \cdot \rho \cdot T \\[5px]
&p_0=R_s \cdot \rho_0 \cdot T \\[5px]
&\underline{R_s \cdot T =\frac{p_0}{\rho_0}} \\[5px]
\end{整列}

この式は方程式 (\ref{bar}) で使用されます:

\begin{整列}
&p=p_0 \cdot \text{e}^{-\frac{g \cdot \Delta h}{R_s \cdot T}} ~~~~~\text{mit}~R_s \cdot T =\frac{p_0}{\rho_0} ~\text{folgt:} \\[5px]
\label{バー2}
&\boxed{p(\Delta h)=p_0 \cdot \text{e}^{\Large{-\frac{g \cdot \rho_0 \cdot \Delta h}{p_0}}}} ~~~~~\text{気圧式} \\[5px]
\end{整列}

高度の変化と密度の関係

方程式 (\ref{rho}) による密度は圧力に直接関係しているため、高度の増加に伴う密度の減少は気圧の公式を使用して求めることもできます。この目的のために、気圧の公式 (\ref{bar}) が方程式 (\ref{rho}) で使用されます。

\begin{整列}
\label{x}
&\rho=\frac{p}{ R_s \cdot T}\\[5px]
\label{y}
&\rho(\Delta h)=\frac{p(\Delta h)}{ R_s \cdot T}=\frac{ p_0 \cdot \text{e}^{\Large{-\frac{g \cdot \Delta h}{R_s \cdot T}}} }{ R_s \cdot T}=\underbrace{\frac{p_0}{ R_s \cdot T}}_{\rho_0} \cdot \text{e}^{\Large{-\frac{g \cdot \Delta h}{R_s \cdot T}}} \\[5px]
\label{z}
&\boxed{\rho(\Delta h)=\rho_0 \cdot \text{e}^{\Large{-\frac{g \cdot \Delta h}{R_s \cdot T}}}} \\[5px]
\end{整列}

式 (\ref{y}) では、式 (\ref{x}) による項 p0/(Rs⋅T) が基準レベルでの密度 ϱ0 に対応することが使用されています。同様に、方程式 (\ref{z}) の項 Rs⋅T は p0/ϱ0 に置き換えることができます。

\begin{整列}
&\boxed{\rho(\Delta h)=\rho_0 \cdot \text{e}^{\Large{-\frac{g \cdot \rho_0 \cdot \Delta h}{p_0}}} \\[5px]
\end{整列}

気圧式による密度推移と標準大気の密度推移を比較すると、特に高度 3 km 未満の場合、最大 7 % の大きな偏差が観察される可能性があります。これらの比較的大きな偏差は温度によるもので、温度は一定であると想定されていますが、実際には温度が低下するため、密度に大きな影響を与えます。高度が上がると、圧力 (密度計算の基礎となる) を計算する際に生じる誤差が、温度が一定でないことによる偏差を補います。標準大気からの密度の最大偏差は高度 9 km で 10% であり、その後再び減少します。

気圧式と静水圧式

圧縮性ガスの気圧式は、非圧縮性液体の静水圧方程式と同様に考えることができます。液体表面からの深さが深くなるにつれて、その上の液体層により圧力はますます増加します。同様に、高高度から地表に向かって移動すると、大気の圧力が増加します。私たちはいわば「空気の海」の底に住んでいます。大気の気体と海の液体の唯一の違いは、液体は圧縮できないことです。これは、液体中の圧力は（ほぼ）密度が増加せずに増加するのに対し、気体では圧力が増加すると密度も増加することを意味します。

非圧縮性流体の静水圧方程式も、前述の考察から導き出すことができます。この目的のために、方程式 (\ref{dp}) は微小な変化に使用されます。次に、この方程式を一定の密度 ϱ の仮定と統合できます。

実際的な理由から、液体の底ではなく液体の表面が基準レベルとして採用されます。したがって、積分限界は、周囲圧力 p0 が適用される液体表面 h=0 に基づいて、深さ h までの液体圧力 p がそこで決定されます。

\begin{整列}
\text{d}p &=\rho \cdot g \cdot \text{d} h \\[5px]
\int_{p_0}^{p} ~ \text{d}p &=\rho \cdot g \cdot \int_{0}^{h} \text{d} h \\[5px]
\left[p\right]_{p_0}^{p} &=\rho \cdot g \cdot \left[h\right]_{0}^{h} \\[5px]
\left[p-p_0\right] &=\rho \cdot g \cdot \left[h-0\right] \\[5px]
\underbrace{p}_{\text{全圧}} &=\underbrace{p_0}_{\text{周囲圧力}} + \underbrace{\rho \cdot g \cdot h}_{\text{静水圧}}
\end{整列}

\begin{整列}
\boxed{p=p_0 + \rho g h} ~~~~~\text{静水圧方程式}\\[5px]
\end{整列}

導出された静水圧方程式は、液体内の圧力は周囲圧力と静水圧の合計から生じることを示しています。