アルバート アインシュタインが一般相対性理論を発表してから 1 世紀以上が経過しましたが、彼の壮大な重力理論は、それが受けたすべての実験的テストに合格しました。一般相対性理論は、重力を、長い間保持されてきた巨大な物体間の引力としてではなく、質量とエネルギーの存在下での空間と時間の曲線の結果として描写することで、私たちの重力の理解を変えました.この理論は、太陽の重力場で光が曲がるという 1919 年の確認から、ブラック ホールのシルエットを明らかにした 2019 年の観測まで、見事な勝利を収めてきました。したがって、一般相対性理論がまだ進行中の研究であると聞いて驚くかもしれません.
アインシュタインが 1915 年に導入した方程式は、巨大な物体によって引き起こされる曲率に関するものですが、この理論は、物体の質量を決定する単純または標準的な方法を提供していません。角運動量 — 時空におけるオブジェクトの回転運動の尺度 — は、概念を定義するのがさらに難しいです。
問題のいくつかは、一般相対性理論に組み込まれているフィードバック ループに起因します。物質とエネルギーは時空の連続体を曲げますが、この曲率自体がエネルギーの源になり、それが追加の曲率を引き起こす可能性があります。この現象は「重力の重力」と呼ばれることもあります。そして、物体の固有質量を、この非線形効果から生じる余分なエネルギーから分離する方法はありません。さらに、最初に質量をしっかりと把握しなければ、運動量や角運動量を定義することはできません。
アインシュタインは、質量の定量化に伴う課題を認識しており、質量とは何か、またはその測定方法を完全に説明することはありませんでした.最初の厳密な定義が提案されたのは、1950 年代後半から 1960 年代前半まででした。物理学者のリチャード・アーノウィット、スタンリー・デザー、チャールズ・マイズナーは、時空がほぼ平坦で物体の重力の影響がゼロに近づく、ほぼ無限に遠くから見た、ブラック ホールなどの孤立した物体の質量を定義しました。
質量を計算するこの方法 (著者の後には「ADM 質量」として知られる) は有用であることが証明されていますが、物理学者が有限領域内の質量を定量化することはできません。たとえば、合体の過程にある 2 つのブラック ホールを研究しており、システム全体の質量ではなく、合体前の個々のブラック ホールの質量を決定したいとします。重力と時空間の曲率が非常に強い可能性があるその領域の表面から測定された、個々の領域内に含まれる質量は、「準局所質量」と呼ばれます。
2008 年、コロンビア大学の数学者 Mu-Tao Wang と、現在は中国の清華大学の教授であり、ハーバード大学の名誉教授である Shing-Tung Yau は、準局所質量の定義を進め、特に有益であることが証明されました。 2015 年には、彼らと共同研究者が準局所的な角運動量を定義できるようになりました。そしてこの春、これらの著者と 4 人目の共同研究者は、観測者がどこにいて、どの座標系を選択するかに依存しないことを意味する「超並進不変」である角運動量の、長年求められてきた初めての定義を発表しました。このような定義により、観測者は原則として、回転する物体によって生成される時空の波紋を測定し、重力波として知られるこれらの波紋によって物体から持ち去られる角運動量の正確な量を計算できます。
ミシガン大学の数学者で一般相対性理論の専門家であるリディア・ビエリは、2022 年 3 月の論文について、「素晴らしい結果であり、数年にわたる複雑な数学的調査の集大成です」と述べています。実際、一般相対性理論のこれらの側面の開発には、数年ではなく何十年もかかりました。
準ローカルの維持
1960 年代に、スティーブン ホーキングは準局所的な質量の定義を思いつきました。この定義は、その単純さからいくつかの状況で今日でも支持されています。ブラック ホールのイベント ホライズン (その目に見えない球状の境界) によって囲まれた質量を計算しようとして、ホーキングは、含まれる物質とエネルギーによって入射光線と出射光線がどの程度曲げられるかを決定することによって、任意の球の内部の質量を計算できることを示しました。 「ホーキング質量」には計算が比較的簡単であるという利点がありますが、この定義は、球対称の時空間 (現実の世界には完全に丸いものはないため、理想化された状態) または「静的」な時空間のいずれかでしか機能しません。 (そしてかなり退屈な) 時間が経っても何も変わらない時空。
より用途の広い定義の検索が続けられました。 1979 年のプリンストン大学での講義で、イギリスの数学物理学者ロジャー ペンローズは、ブラック ホール物理学のもう 1 つのパイオニアであり、準局所質量を特徴付けるタスクを特定しました。有意義に定義される概念」 — 一般相対性理論における未解決問題の第 1 位。準局所角運動量の定義は、ペンローズのリストで 2 番目にランク付けされました。
その年の初めに、ヤウと彼の元学生で現在スタンフォード大学の名誉教授であるリチャード・シェーンは、これらの準局所的な定義を確立するための主要な前提条件を証明しました。つまり、彼らは、孤立した物理システムの ADM 質量 (無限に遠くから測定した質量) が決して負になることはあり得ないことを示しました。 Schoen-Yau の「正の質量定理」は、準局所的な質量やその他の物理量を定義するための重要な最初のステップを構成しました。なぜなら、そのエネルギーに下限がない場合、時空とその中のすべてが不安定になり、代わりに負になり、無制限に低下し続ける可能性があるためです。 . (1982 年、Yau は、正の質量定理に関する業績により、数学で最高の栄誉であるフィールズ賞を受賞しました。)
1989 年、オーストラリアの数学者 Robert Bartnik は、その定理に基づく準局所質量の新しい定義を提案しました。 Bartnik のアイデアは、表面で囲まれた有限サイズの領域を取り、それをさらに大きな面積の表面の多くの層で覆うことにより、有限領域を無限サイズの領域に拡張して、その ADM 質量を計算できるようにすることでした。しかし、気球の表面積が均一に膨らんだり、さまざまな方向に引き伸ばされたりして、それぞれ異なる ADM 質量が得られるように、この領域はさまざまな方法で拡張できます。得られる ADM 質量の最小値は、Bartnik によれば準局所質量です。 「この議論は、正の質量定理の前では不可能だったでしょう」と Wang は説明しました。
コネチカット大学の数学者である Lan-Hsuan Huang 氏によると、Bartnik 質量は数学の重要な概念でしたが、その主な欠点は実用的なものであり、最小値を見つけることは非常に困難です。 「準局所質量の実際の数を計算することはほとんど不可能です。」
物理学者の David Brown と James York は、1990 年代にまったく異なる戦略を思いつきました。彼らは、物理システムを 2 次元の表面で包み、その曲率に基づいてその表面内の質量を決定しようとしました。ただし、Brown-York 法の問題点の 1 つは、完全に平坦な時空で間違った答えを出す可能性があることです。準局所的な質量は、ゼロであるべき場合でも正になる可能性があります。
それでも、このアプローチは、Wang と Yau による 2008 年の論文で利用されました。ブラウンとヨークの研究と、ヤウがコロンビアの数学者メリッサ・リューと行った研究に基づいて、ワンとヤウは完全に平坦な空間での正の質量の問題を回避する方法を見つけました。彼らは、2 つの異なる設定で表面の曲率を測定しました。「自然な」設定、宇宙を表す時空間 (曲率はかなり複雑になる可能性があります)、および完全に平坦なミンコフスキー空間と呼ばれる「参照」時空です。物質がないからです。これら 2 つの設定の間の曲率の違いは、表面内に閉じ込められた質量、つまり準局所質量によるものに違いないと彼らは推測しました。
彼らの定義は、論文で述べたように、「準局所質量の有効な定義に必要なすべての要件」を満たしていました。とはいえ、彼らのアプローチには、その適用性を制限する 1 つの特徴があります。「私たちの定義は非常に正確ですが、常にいくつかの非常に難しい非線形方程式を解く必要があります」と Wang 氏は述べています。このアプローチは理論的には優れていますが、実際にはしばしば困難です。
あいまいな角度
2015 年、Wang と Yau は、カリフォルニア大学リバーサイド校の Po-Ning Chen と協力して、準局所的な角運動量の定義に着手しました。古典力学では、円運動する物体の角運動量は、単純に質量×速度×円の半径で与えられます。保存されているため、測定するのに便利な量です。つまり、物の間を通過しますが、作成または破壊されることはありません.物理学者は、オブジェクトと環境の間で角運動量がどのように交換されるかを追跡して、システムのダイナミクスに関する洞察を得ることができます。
面内に閉じ込められた準局所的な角運動量を定義するために、Wang、Yau、Chen は 2 つのものが必要でした:彼らが持っていた準局所的な質量の定義と、回転が時空でどのように機能するかについての詳細な知識です。前と同じように、彼らは最初に可能な限り最も単純な環境であるミンコフスキー時空に表面を埋め込みました。これは、間違いなく平らであり、回転対称の特性を持ち、すべての方向が同じに見えるために選択されました。回転対称性により、研究者は、速度と距離の測定に使用する座標系の原点をどこに配置するかに依存しない方法で準局所角運動量を定義することができました (原点は x 、はい 、z 、および t 軸が交差します)。次に、ミンコフスキー時空における表面上の点と、元の (自然な) 時空に配置された同じ表面上の点との間に 1 対 1 の対応を確立し、後者の設定でも座標の独立性を確保しました。
その後、3 人は国立成功大学の Ye-Kai Wang と力を合わせて、約 60 年間未解決のままだった問題に取り組みました。それは、2 つのブラック ホールが渦巻くときに放出される角運動量など、重力波によって一掃される角運動量を特徴付ける方法です。そして激しく合体。準局所的な角運動量の定義は、このタスクには機能しません。測定は、ブラック ホールの合体に近接するのではなく、メイルストロムから遠く離れて行う必要があるためです。適切な見晴らしの良い場所は「ゼロ無限大」と呼ばれ、ペンローズによって発明された概念であり、重力と電磁気の両方で外向きに移動する放射の最終的な目的地を指します。
一般相対性理論でよくあることですが、新しい複雑な問題が発生します。重力波によって輸送される角運動量は、ゼロ無限遠 (または合理的な複製であるほど十分に離れた場所) で測定されたとしても、原点と向きの選択によって異なるように見える場合があります。オブザーバーの座標系の。この難しさは、重力波が時空を移動するときに永久的な痕跡を残すという「重力波メモリー効果」に起因します。波は時空を一方向に膨張させ、直交する方向に収縮させます (これは、LIGO や Virgo のような重力波天文台によって検出された信号です) が、時空が最初の状態に正確に戻ることはありません。 「通過する重力波は、物体間の距離を変化させます」と、コーネル大学の一般相対論者である Eanna Flanagan は説明しました。 「波は観測者を少し動かすこともできます…しかし、彼らは動かされたことに気づきません。」
これは、異なる観測者が最初に座標系の原点がどこにあるかについて同意したとしても、重力波が物を揺らした後は同意しないことを意味します。その不確実性は、角運動量のそれぞれの評価において、「超平行移動」と呼ばれる曖昧さにつながります。超並進運動を理解するもう 1 つの方法は、通過する重力波によって物体の質量も速度も歪まないが、回転運動の半径は歪むということです。座標系に対する半径の向きによっては、重力放射によって引き伸ばされたり、縮んだりして、角運動量のさまざまな決定につながるように見える場合があります。
保存された物理量は、私たちがどのようにラベル付けするかに基づいて、変化したり、変化したように見えたりしてはなりません。それが、チェン、ワン、ワン、ヤウが是正を望んでいた状況でした。準局所角運動量の 2015 年の定義から始めて、彼らは有限半径の領域内に含まれる角運動量を計算しました。次に、半径が無限大になるにつれてその量の極限を取り、座標に依存しない準局所的な定義をゼロ無限大での超平行移動不変量に変えました。この史上初の超並進不変の角運動量の定義により、Advances in Theoretical and Mathematical Physics で 3 月に発表されました。 、原則として、ブラックホールの衝突中に放出された重力波によって運ばれる角運動量を決定できます。
「これは素晴らしい論文であり、素晴らしい結果です」と、ニューヨークのストーニーブルック大学の数学者であるマーカス・クーリは言いました。彼は、新しい定義は抽象的で計算が難しいと説明し、「一般的に言って、物理学者は計算が難しいものを好みません」
ユニークな選択
ただし、計算が難しいことは、一般相対性理論のほとんど避けられない機能です。アインシュタインが 1915 年に定式化した非線形方程式は、非常に対称的な状況を除いて、正確に解くことさえ通常は不可能です。代わりに、研究者はおおよその解を得るためにスーパーコンピューターに依存しています。それらは、時空間を小さなグリッドに分割し、各グリッドの曲率を別々に、別々の時点で推定することにより、問題を扱いやすくします。高精細度テレビにピクセルを追加するのと同じように、グリッドを追加するほど近似値が向上します。
これらの近似により、研究者は、LIGO および Virgo 天文台によって検出された重力波信号に基づいて、合体するブラック ホールまたは中性子星の質量と角運動量を計算できます。ドイツのポツダムにあるマックス プランク重力物理学研究所の物理学者であり、LIGO 共同研究のメンバーである Vijay Varma によると、重力波の現在の観測は、超並進移動によって引き起こされる微妙な違いが目立つほど正確ではありません。 「しかし、観測の精度が 10 倍向上すると、これらの考慮事項はより重要になります」と Varma 氏は述べています。彼は、その秩序の改善が 2030 年代に実現する可能性があることを指摘しました。
Flanagan は異なる視点を持っており、超並進移動は「修正する必要がある問題ではなく」、一般相対性理論における角運動量の避けられない特性であり、私たちが一緒に暮らす必要があると主張しています。
シカゴ大学の一般相対性理論の専門家である物理学者のロバート・ウォルドは、超平行移動は実際の問題というよりも「不便」であると述べ、フラナガンの見解をある程度共有しています。それにもかかわらず、彼は、Chen、Wang、Wang、および Yau の論文を注意深くレビューし、証明が十分に有効であると結論付けました。 「超翻訳のあいまいさを本当に解決しています」と Wald 氏は言い、「一般相対性理論では、選択できるこれらの代替定義がすべてある場合」、選択する「独自の選択」があると便利です。
1970 年代からこれらの量の定義に取り組んできたヤウは、長期的な見方をしています。 「数学のアイデアが物理学に浸透するには、長い時間がかかる可能性があります」と彼は言いました。彼は、角運動量の新しい定義が今のところ使用されていないとしても、LIGO と Virgo の科学者は「常に何かを計算しています。しかし最終的には、概算しようとしているものが何であるかを知ることは良いことです。」
編集者注:Po-Ning Chen は、この編集的に独立した雑誌もサポートしている Simons Foundation から資金提供を受けています。
