ハーゲン・ポアズイユの式:パイプの流れにおける導出と応用

ハーゲン ポアズイユ方程式は、非圧縮性のニュートン流体の摩擦層流パイプ流の放物線状速度プロファイルを記述します。

流れの推進力と抵抗

パイプを通る流体の流れは、自然界やテクノロジーの多くの場合において非常に重要です。たとえば、化学産業では、パイプを通って輸送される液体を扱わなければならないことがよくあります。特に反応相手を正しく混合する場合、供給される体積流量が大きな役割を果たします。ポンプによって生成される圧力とパイプの直径に基づいて流量を決定することが最も重要です。

流れは基本的に、圧力の高い点から低い点へ流体を押し出す圧力差によって引き起こされます。したがって、パイプに沿って流れの方向に永久的に減少する圧力が形成されます。パイプの特定の長さにわたるこの圧力降下が大きくなるほど、流体がパイプを通って流れる速度が速くなり、流量が大きくなります。したがって、流れの原動力は圧力勾配 dp/dx、つまり単位長さあたりの圧力損失です。

パイプ内の流れの原動力は圧力勾配です!

この駆動は、流体とパイプの間および流体自体の内部の両方に作用する流体の摩擦力によって妨げられます。それらは流体の粘度によって引き起こされます。

流れの抵抗は流体の粘度によって発生します。

パイプ内の層流は、 両方の力、圧力に基づいて数学的に説明できます。 駆動力と摩擦力として 抵抗として。以下では、 両方の速度プロファイルを示します。 と体積流量 このような摩擦パイプの流れが導出されます。

体積要素に作用する圧力

円筒形の流体要素 (流体パーセル) ) を半径 r として考慮します。力はこの体積要素の端面に作用し、パイプの断面全体にわたって一定とみなされます。これらの力は、体積要素の面に作用する流体内の圧力によって生じます。点x1では圧力pが作用し、点x2ではdp<0だけ低い圧力が作用します。この結果、以下の力が生じます。

\begin{整列}
&F_{\text{p}_1} =p \cdot \pi r^2 \\[5px]
&F_{\text{p}_2} =\left(p+\text{d} p\right) \cdot \pi r^2 \\[5px]
\end{整列}

したがって、異なる圧力が流体を動かそうとする体積要素上の合力 Fp は、2 つの力の差から生じます。

\begin{整列}
\require{キャンセル}
&F_\text{p}=F_{\text{p}_1} – F_{\text{p}_2} \\[5px]
&F_\text{p} =p \cdot \pi r^2 – \left(p+\text{d} p\right) \cdot \pi r^2 \\[5px]
&F_\text{p} =\cancel{p \cdot \pi \cdot r^2 } – \cancel{p \cdot \pi \cdot r^2 }- \text{d} p \cdot \pi r^2 \\[5px]
\label{fp}
&\boxed{ F_\text{p} =-\pi r^2 \cdot \text{d} p} \\[5px]
\end{整列}

したがって、 流れの推進力は圧力降下のみによるものです。 (損失ヘッドとも呼ばれます) ）絶対的なプレッシャーには耐えられません！圧力が正の軸方向に沿って減少する場合、圧力降下 dp は負であるため、合力は正の軸方向に沿って作用することに注意してください。

体積要素に働く摩擦力（粘性）

原則として、パイプ内の流れの速度は断面全体にわたって一定ではありません。流体とパイプの間には摩擦があり、 そのため流速が低下します。 壁近くはパイプの中央よりも低くなります。壁では、接着力によって流体も壁に付着します。したがって、流体と壁の間には相対速度がありません。これは滑り止め状態とも呼ばれます。 。しかし、流体の粘性により、個々の流体層間にも摩擦が生じます。これにより、特定の速度プロファイルが形成されますが、その過程はまだ決定されていません。ただし、流速はパイプの中央で最大となり、壁に近づくにつれてゼロに低下することに注意してください。

個々の流体層を互いにせん断するために必要な、克服すべき流れ抵抗は、流体の粘度によって異なります。流動抵抗はせん断応力で表されます。 τ、つまり流体層を動かすのに必要な単位面積当たりの力。このせん断応力は、流体層が相互にどれだけ変位するかによって決まります。これは、流れの方向に垂直な速度勾配、つまり半径方向の速度プロファイルの傾き dv(r)/dr (せん断速度とも呼ばれます)によって表されます。 ）。 2 つの量の間の数学的関係は、粘度 η (流体運動のニュートンの法則) によって記述されます。 ):

\begin{整列}
\label{vis}
&\boxed{\tau=\eta \cdot \frac{\text{d}v(r)}{\text{d}r}} \\[5px]
\label{sch}
&\boxed{\tau:=\frac{F}{A}} ~~~\text{ せん断応力} \\[5px]
\end{整列}

前のセクションで作用する圧力によって得られた駆動力は、考慮されている体積要素と周囲の流体の間の摩擦力によって対抗されます。この摩擦力 Ff は、面積に関係する力を τ とすると、円筒体積要素の側面の面積 2π・r・dx で求めることができます。せん断応力 τ も式 (\ref{vis}) に従って粘度と速度勾配によって与えられます。したがって、摩擦力は次のようになります。

\begin{整列}
&F_\text{f}=\tau \cdot \text{d}A =\tau \cdot 2 \pi r \cdot \text{d}x \\[5px]
\label{fr}
&\boxed{F_\text{f}=\eta \cdot \frac{\text{d}v(r)}{\text{d}r} \cdot 2 \pi r \cdot \text{d}x} \\[5px]
\end{整列}

速度プロファイル

流速が時間の経過とともに変化しない定常流の場合、力のバランスが考慮中の体積要素に適用されます。したがって、圧力 (\ref{fp}) と反作用する摩擦力 (\ref{fr}) は同等とみなすことができます。

\begin{整列}
\require{キャンセル}
&F_\text{f}=F_\text{p} \\[5px]
&\eta \cdot \frac{\text{d}v(r)}{\text{d}r} \cdot 2 \cancel{\pi r} \cdot \text{d}x =– \pi r^\cancel{2} \cdot \text{d} p \\[5px]
&\boxed{\frac{\text{d}v(r)}{\text{d}r}=– \frac{1}{2\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \cdot r} \\[5px]
\end{整列}

方程式の左側は、半径方向の流れの速度勾配、つまり速度プロファイルの傾き（導関数）を示します。右側は軸方向の圧力勾配と流体の粘度です。どちらの量も半径の関数ではありません。したがって、速度プロファイルの導関数は一次関数です。したがって、実際の速度プロファイルは放物線状になります。

正確な速度プロファイル v(r) は、上記の方程式を積分することで得られます。

\begin{整列}
&v(r)=\int -\frac{1}{2\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \cdot r ~~\text{d}r \\[5px]
&v(r)=-\frac{1}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \cdot r^2 + C \\[5px]
\end{整列}

積分定数 C は、r=R におけるパイプ壁の流速がゼロ (滑りなし条件) であるという境界条件から取得できます。

\begin{整列}
&v(r=R)\overset{!}{=}0 \\[5px]
&-\frac{1}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \cdot R^2 + C =0 \\[5px]
&\underline{C =\frac{1}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \cdot R^2} \\[5px]
\end{整列}

この定数を上記の方程式に代入すると、最終的に次の速度プロファイルが得られます。

\begin{整列}
&v(r)=-\frac{1}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \cdot r^2 +\frac{1}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \cdot R^2 \\[5px]
&v(r)=-\frac{1}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \cdot \left(R^2-r^2\right) \\[5px]
\label{vr}
&\boxed{v(r)=-\frac{R^2}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \cdot \left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^2\right]} \\[5px]
\end{整列}

最大流速

最大流速 vmax はパイプの中央にあります。これは、r=0 について上記の方程式を解くことで決定できます。

\begin{整列}
&v_{\text{max}}=v(r=0) \\[5px]
&v_{\text{max}}=-\frac{R^2}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \cdot \left[1-\left(\frac{0}{R}\right)^2\right] \\[5px]
\label{最大}
&\boxed{v_{\text{max}}=-\frac{R^2}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} } \\[5px]
\end{整列}

したがって、最大速度は方程式 (\ref{vr}) の角括弧の前の式にのみ対応するため、速度プロファイルは次の式で表すこともできます。

\begin{整列}
\label{vrr}
&\boxed{v(r)=v_\text{max} \cdot \left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^2\right]} ~~~\text{and}~~~\boxed{v_\text{max}=-\frac{R^2}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x}} \\[5px]
\end{整列}

この方程式は、流速がパイプの壁から中心に向かって放物線状に増加することを示しており、ハーゲン ポアズイユ方程式としても知られています。 。この式を導出するとき、粘度はせん断速度とは無関係であり、したがって半径の関数ではないと仮定されました。したがって、この方程式は、粘度が常に一定である、いわゆるニュートン流体にのみ適用されます。さらに、方程式の妥当性のために層流を仮定する必要があります。そうしないと、粘度は実際の意味を失います。

同様に、流体の粘度がパイプの直径に比べて相対的に低い場合、ハーゲン・ポアズイユの法則は有効性を失います。これもはっきりと理解できます。この目的のために、例えば 100 mm の巨大な半径を持つパイプを想像します。 6メートル。水はこのパイプを最大流速で流れます。 6m/秒。ハーゲン・ポアズイユの式によれば、壁から 10 cm の距離では、流速はわずか 20 cm/s になるはずです。経験上、パイプ壁からこの比較的遠い距離での流速はかなり速くなるはずです (広い川の流速と比較してください。この流速も、岸から比較的近い距離でほぼ最大になります)。

しかし、もっと粘度の高い蜂蜜をパイプの中に流して考えてみると、壁付近の比較的低い流速は突然それほど非現実的ではなくなるでしょう。高い粘度は、いわばパイプの断面全体の流れに影響を与えますが、非常に低い粘度の流体は、比較的小さな境界領域でのみ流れに影響を与え、断面全体をカバーしません（「境界層」の記事も参照）。簡単に言うと、ハーゲン・ポワズイユの法則は、粘度が流れ断面全体に影響を与えることができる場合にのみ適用されます。これは、直径に比べて粘度が低すぎないことを前提としています。

ハーゲン・ポアズイユ方程式は、直径に比べて長さが長いパイプ内のニュートン流体の摩擦層流の放物線速度プロファイルです。したがって、流れ自体はポアズイユ流れとも呼ばれます。

短いパイプに対するハーゲン・ポワズイユ方程式の制限

すでに説明したように、パイプの始点と終点の間の圧力降下が流れの原動力となります。ただし、パイプの長さ全体に形成される圧力勾配には、いわば 2 つの役割があります。圧力降下は、流体の流れ中の摩擦力を補償するだけでなく、最初に特徴的な流れプロファイルを達成するために流体を加速する必要があります。

したがって、総圧力降下は、流体を加速するために使用される部分と、摩擦を補償するために使用される部分に分割できます。冒頭ですでに説明したように、上記の方程式では、圧力勾配 dp/dx は、摩擦を克服するために必要な全圧力勾配の部分のみを指します。

この圧力勾配を決定するには、単純にパイプの始まりと終わりの間の圧力差をとり、それをパイプの長さで割ってはいけません。これが、上記の方程式が常に、放物線状の流れプロファイルがすでに完全に確立されていると暗黙的に想定されているパイプ セクションを参照している理由です。

ハーゲン ポアズイユの方程式は、パイプの入口 (入口流) には当てはまりません。パイプの入口では、摩擦に打ち勝つだけでなく、圧力勾配によって流体が典型的な放物線状のプロファイルに加速される必要があります。

それでも、特定の状況下では、圧力降下とパイプの長さの商から上記の方程式の圧力勾配を単純に決定することによって流れを説明することが正当化される場合があります。つまり、加速の仕事が摩擦仕事に比べて無視できる場合はいつでも。これは、パイプが直径に比べて比較的長い場合、または流速が比較的遅い場合に常に当てはまります。このような場合、パイプの長さが長いため、摩擦仕事は通常、比較的低い加速仕事よりも明らかに大きくなります。

ただし、パイプが比較的短い場合、流体を加速するために必要な圧力降下の部分は無視できなくなります。このような場合、放物線状の速度プロファイルは短いパイプ内で完全に発達することができません。この場合 (放物線状の速度プロファイルがない)、ハーゲン・ポアズイユ方程式はもはや有効ではありません。このトピックの詳細については、「ハーゲン ポアズイユの法則の精力的な分析」の記事を参照してください。

ハーゲン ポワズイユの式は、直径に比べて長さが相対的に大きい長いパイプに対してのみ有効です。

体積流量

速度プロファイルがわかったので、体積流量はパイプの断面積によって決定できるようになりました。流量を求めるために、パイプの中心から任意の距離 r にある極小の厚さ dr のリングを考慮します。考慮されているリングの面積 dA は、リングの「長さ」 2π⋅r (円周) とリングの「高さ」 dr (厚さ) から導き出すことができます。

\begin{整列}
\label{q}
&\text{d}A =2\pi r \cdot \text{d}r \\[5px]
\end{整列}

流体が距離 r でこのリングを流れる速度は、式 (\ref{vr}) で与えられます。時間 dt 内に、流体は距離 dx=v(r)⋅dt をカバーします。したがって、液体は体積 dV を占め、その結果次の流量 dV* が生じます。

\begin{整列}
&\text{d}V =\text{d}A \cdot \text{d}x =2\pi r \cdot \text{d}r \cdot v(r) \cdot \text{d}t \\[5px]
&\text{d}V =-2\pi r \cdot \frac{R^2}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \cdot \left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^2\right] \cdot \text{d}r \cdot \text{d}t \\[5px]
&\text{d}\dot V =\frac{\text{d}V}{\text{d}t} =– \frac{ 2\pi R^2}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \cdot \left[r-\frac{r^3}{R^2}\right] \cdot \text{d}r \\[5px]
\end{整列}

パイプ全体の体積流量 V* は、r=0 から r=R までの範囲内の半径 r に関してこの式を積分することで最終的に得られます。

\begin{整列}
&\dot V =\int\limits_{(A)}^{} \text{d} \dot V =\int\limits_0^R – \frac{ 2\pi R^2}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \cdot \left[r-\frac{r^3}{R^2}\right] \cdot \text{d}r \\[5px]
&\dot V =– \frac{ 2\pi R^2}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \cdot \left\vert \frac{r^2}{2}-\frac{r^4}{4R^2}\right\vert_0^R \\[5px]
&\dot V =– \frac{ 2\pi R^2}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \cdot \left(\frac{R^2}{2}-\frac{R^4}{4R^2}\right) =– \frac{ 2\pi R^2}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \cdot \frac{R^2}{4} \\[5px] \\[5px]
\label{dv}
&\boxed{\dot V =– \frac{\pi R^4}{8\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} } \\[5px]
\end{整列}

この結果で特に注目に値するのは、パイプ半径が流量に 4 乗で影響を与えることです。したがって、パイプ半径が 2 倍になるということは、体積流量が 16 倍になることを意味します。この関係は、圧力によって体積が変化しない非圧縮性流体にのみ適用されることに注意してください。前と同様、ニュートン流体の層流を仮定する必要があります。

流量の方程式は実際にはさらに意味があります。流量は流体の粘度に直接依存します。したがって、流体の粘度は流量から簡単に求めることができます。毛細管粘度計はこの原理に基づいています。

備考

この時点で、静脈や細い血管の狭窄の例が頻繁に参照されますが、これは流量の式によれば、確かに血流と必要な血圧に多大な影響を与えることになります。しかし、ポワズイユは実際に血液の流れをそのような流れをより詳しく調査する機会として取り上げたにもかかわらず、この文脈ではむしろ血液は不適切な例です。

血液はニュートン流体ではなく、せん断減粘（擬似塑性）流体です。特に、非常に細い血管や狭窄の場合、流れプロファイルはポアズイユ流れとはまったく逆になります。非常に細い血管では、血球は大きな栓のように動きます。 断面全体にわたってほぼ一定の流速です。これはプラグフローとも呼ばれます。

さらに、狭窄部や高い流速で乱流が発生する可能性があり、その場合もほぼ一定の速度プロファイルが得られます (乱流のセクションを参照) ).

平均流速

パイプ内の流れは放物線状の速度プロファイルを持ち、原理的に特有の速度を持ちません。したがって平均流速は c は、そのようなフローを特徴付けるために定義されることがよくあります。平均流速は、実際の速度プロファイルと同じ流量を提供する断面全体にわたる一定の速度として定義されます。内管の断面積を A=π⋅R2 とすると、平均流速 c は体積流量 V* によって決まります。

\begin{整列}
\label{dvv}
&\dot V =\frac{\Delta V}{\Delta t} =\frac{A \cdot \Delta x}{\Delta t} =\pi R^2 \cdot \frac{\Delta x}{\Delta t} =\pi R^2 \cdot c \\[5px]
\end{整列}

上記の導出では、移動距離 Δx と時間 Δt の商が平均流速にちょうど対応することが使用されました。方程式 (\ref{dvv}) と (\ref{dv}) を等価すると、最終的に平均流速 c が得られます。

\begin{整列}
&\pi R^2 \cdot c =- \frac{\pi R^4}{8\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \\[5px]
\label{c}
&\boxed{c =- \frac{R^2}{8\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x}} ~~~\text{平均流速}\\[5px]
\end{整列}

最大流速 vmax と平均流速 c の間には次の関係が適用されます。

\begin{整列}
&\frac{c}{v_\text{max}} =\frac{ – \frac{R^2}{8\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} }{ -\frac{R^2}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} } =\frac{1}{2}\\[5px]
&\boxed{c =\frac{1}{2} \cdot v_\text{max}}
\end{整列}

平均流速は、パイプの中央での最大流速の半分です。

圧力損失

すでに説明したように、上の方程式の圧力勾配 dp/dx は流体の流れの駆動力を表します。方程式 (\ref{dv}) によれば、これは流量に直接影響します。逆に言えば、これは、所望の流量に対して圧力勾配が存在しなければならないことを意味します。これには、最終的にこの圧力勾配を生成するポンプが必要です (とにかく量だけが決定的なため、この時点ではマイナス記号は省略されています)。

\begin{整列}
&\frac{\text{d} p}{\text{d}x} =\frac{8\eta}{\pi R^4} \dot V \\[5px]
\end{整列}

単位長さあたりの圧力変化としての圧力勾配の定義から、長さ ΔL のパイプ セクションに必要な圧力降下 Δpd は、次の式で計算できます。

\begin{整列}
\label{pv}
&\frac{\text{d}p}{\text{d}x} =\frac{\Delta p_d}{L} \\[5px]
&\Delta p_d =\frac{\text{d}p}{\text{d}x} \cdot \Delta L \\[5px]
&\underline{\Delta p_d =\frac{8\eta \cdot \Delta L}{\pi R^4} \dot V } \\[5px]
\end{整列}

一方、摩擦のない流れの場合、流体の流れを維持するために定常状態でそのような圧力降下を加える必要はありません。一度動き始めると、流体は速度を失うことなくパイプを通って流れます。したがって、圧力の適用は摩擦損失によるものであり、これは圧力降下に相当します。定常状態では、流体の流れを維持するために、ポンプによって生成される圧力が圧力損失を完全に補償する必要があります。したがって、上の式は、パイプの長さ ΔL にわたって発生する圧力損失 Δpl に相当します。

\begin{整列}
&\boxed{\Delta p_l =\frac{8\eta \cdot \Delta L}{\pi R^4} \dot V} ~~~\text{圧力損失} \\[5px]
\end{整列}

フォームロッドが押し込まれるパイプを見ると、状況を説明できます。それを押し通すには、フォームとパイプの間の摩擦力に打ち勝つ必要があります。これにはある程度の力が必要です。ただし、パイプのこちら側から加えられる力は、パイプの端にいる 2 人目の人が知覚する力と一致しません。したがって、この人ははるかに低い力を測定します。

したがって、パイプラインの端に向かって力の損失が発生し、摩擦が大きくなるほどパイプラインの損失が大きくなります。力をパイプの断面積に関連付けると、これは最終的に圧力に相当します。したがって、パイプに沿って圧力損失が発生します。一定速度での定常状態では、力のバランスが保たれているため、摩擦力による圧力損失 Δpl は、泡が押し出されるパイプの最初と最後の間の圧力差 Δpd にちょうど対応します。

上式の体積流量は、式 (\ref{c}) に従って平均流速で表すこともできます。平均流速の関数としての圧力損失は次のようになります。

\begin{整列}
&\Delta p_l =\frac{8\eta \cdot \Delta L}{\pi R^4} \cdot \overbrace{\pi R^2 \cdot c}^{\dot V} \\[5px]
&\boxed{\Delta p_l =\frac{8\eta \cdot \Delta L}{R^2} \cdot c} ~~~\text{圧力損失} \\[5px]
\end{整列}

パイプに沿った圧力損失は層流の平均流速に比例します。この関係は乱流には適用されなくなりました。

記載されている圧力損失は純粋に粘度に基づいていることに注意してください (「粘性圧力損失」)。流体の流れを維持するには、この圧力損失をポンプによって常に適用する必要があります。たとえばパイプの角度によって発生する圧力損失は、上記の式では考慮されていません。しかし、式はパイプ半径が明らかに圧力損失に大きな影響を与えることを示しています。一般に、パイプが大きいと、（粘性の）圧力損失が低くなります。したがって、大きなパイプを使用することにより、同じ体積流量 V* に対してポンプ P の機械的動力を大幅に低減できます。

\begin{整列}
&P =\Delta p_l \cdot \dot V =\frac{8\eta \cdot \Delta L}{\pi R^4} \dot V^2\\[5px]
&\boxed{P =\frac{8\eta \cdot \Delta L}{\pi R^4} \dot V^2}\\[5px]
\end{整列}

乱流の速度プロファイル

放物線状の速度プロファイルは、層流が存在する場合にのみパイプ内に形成されます。同じ条件下で流れが乱流に変化すると、乱流によりパイプ中心の最大流速が遅くなります。しかし同時に、乱流による混合の増加により、流体粒子間の運動量の伝達がより強くなり、壁に近い領域での流速がより強く増加します。したがって、レイノルズ数が約 2300 を超える乱流の場合、いわゆる流れ指数 n を使用して速度プロファイルを記述するために次のアプローチがよく使用されます。

\begin{整列}
&\boxed{v(r)=v_\text{max} \cdot \left(1-\frac{r}{R}\right)^\frac{1}{n}} ~~~\text{乱流}\\[5px]
\end{整列}

次の関数は、パイプ壁を原点とする座標系に適用されます。

\begin{整列}
&\boxed{v(z)=v_\text{max} \cdot \left(\frac{y}{R}\right)^\frac{1}{n}} ~~~~0 \end{整列}

実際には、フローインデックスとして n=7 が選択されることがよくあります。これは1/7 べき乗則としても知られています。 (7 分の 1 乗則)。この場合、平均流速と最大流速の間には次の関係が適用されます。

\begin{整列}
&\boxed{c =0.817 \cdot v_\text{max}} ~~~\text{for } n=7\\[5px]
\end{整列}

流動指数は、レイノルズ数とパイプ壁の相対的な粗さ、つまりパイプの表面粗さと直径の比によって決まります。

コメント :1/7 べき乗則は、たとえば乱流境界層を説明するためにも使用されます。結局のところ、パイプの流れ全体は単一の大きな境界層です。