結局のところ、素数と水晶には多くの共通点があります。プリンストン大学の研究者による新しい分析は、数直線におけるパターン化された素数の分布が、特定の結晶に似た物質の原子構造に見られるパターンと非常に似ていることを示唆しています。簡単に言えば、数直線の長い範囲にわたる素数のシーケンスは、オブジェクトに X 線を照射して内部の原子構造を明らかにすることによって生じるシーケンスと非常によく似た特性を示します。
The Journal of Statistical Mechanics に掲載されたこの研究は、素数の組織が準結晶 (非周期的な原子組織を持つ奇妙な結晶のような物質) に見られる原子組織と非常によく似ていることを示しています。素数の構成と準結晶の構成はどちらも、「超均一」として知られるパターンのクラスに分類されます。この知識の応用の可能性は刺激的です。数学者は長い間、数直線上の素数の位置を予測できるアルゴリズムを探してきましたが、そのようなアルゴリズムはまだ見つかっていません.
研究者によると、この研究から得られた知識は、数直線上の素数を予測するための新しい方法を考案するのに役立つ可能性があります。この研究の主任研究者である Salvatore Torquato 氏は、「素数にはこれまでに発見されたよりもはるかに多くの順序があります」と述べています。
素数、準結晶、超一様性
素数は、唯一の約数が 1 とそれ自体である数です。 3、7、11、2-1 などの数字。非常に大きな素数 は、現代の暗号化の構成要素です。素数は、多かれ少なかれランダムに数直線上に分布しているように見えます。現在、素数を生成するためのアルゴリズムは存在しませんが、数学者はその組織に関する非常に一般的な特徴を特定することができました。数直線上に行けば行くほど、より多くの素数が広がっています。また、ランダムに選択された数字が素数である可能性は、その数字の桁数に反比例します。
専門的な訓練を受けた化学者である Torquato は、X 線結晶構造解析 (物体に X 線を照射してその原子構造を 3 次元でマッピングするプロセス) に精通しています。ダイヤモンドやクォーツなどの規則的で周期的な結晶の場合、結晶学では、ブラッグ ピークとして知られる輝点の予測可能なパターンが得られます。準結晶は通常の結晶の周期構造を欠いているため、通常の結晶と比較して、準結晶はブラッグ ピークの明確で複雑なパターンを示します。
2月に発表された以前の研究では、チームは強力なコンピューターシミュレーションを使用して、素数をX線にさらされた格子に配置された原子のように扱うとどうなるかを示しました.その結果、素数配列の結晶は、準結晶と非常によく似たブラッグ ピーク パターンと、「極限周期秩序」と呼ばれる別の種類のシステムを示すことがわかりました。現在の論文は、以前の実験の数値結果を理論的に説明することを目的としています。
これらの組織はすべて、「ハイパーユニフォーム」マテリアルとして知られるパターンのクラスに分類されます。超均一材料 (「超均質」と呼ばれることもあります) は、明らかな秩序を示さないように見えますが、大規模では特別な組織構造をとる材料です。矛盾しているように聞こえるかもしれませんが、ハイパーユニフォーム マテリアルは「秩序だったカオス」の 1 つであると言えます。ピースは小さな縮尺でランダムに配置されているように見えますが、鳥瞰図から見ると狂気には秩序があります。
2000 年代初頭に超均一性の概念が誕生して以来、ニワトリの目、準結晶、乱数の分布、粒子の量子アンサンブル、さらには大規模構造など、組織の超均一パターンが自然界のいたるところで発見されてきました。宇宙の。フィボナッチ数列のように、超一様性の数学的パターンは自然界のいたるところに見られ、その予想外の発見はほとんどの場合、科学者を驚かせます。
この場合、Torquato とコホートが素数で見つけたパターンは、準結晶やその他の極限周期秩序のシステムと似ていますが、「効果的に極限秩序」という名前が付けられたほど異なっています。素数は「自己相似」グループで表示されます。つまり、同じ高さのピークの間に、より小さいピークのグループがあります。
数学へのリンク
つまり、この研究は、数直線における素数の分布と特定の物質の 3 次元原子構造の両方の根底に同じ数学的規則があることを示唆しているということです。あるドメインで洗練された数学的概念が、驚くべきことに別のドメインに適用できることが判明することがよくあります。 20 世紀初頭の物理学者にとって、当時は単なる興味深い数学的好奇心であった非ユークリッド幾何学が一般相対性理論のモデルとして適用できることを発見したときは、確かに驚きでした。同様に、量子力学の初期のパイオニアは、行列代数が実際に初期の量子論に応用されていることが判明したとき、驚いた。ここでもまた、超均一性の特定の数学的概念が、一見無関係に見える 2 つの領域 (材料科学と数論) に頭をもたげていることがわかります。
Torquato と彼の同僚の分析結果は、科学界にとって興味深いものです。この研究には関与していない Microsoft の研究者である Henry Cohn によると、「この論文の興味深い点は、素数について別の視点を与えてくれることです。素数を数値として見るのではなく、粒子として見て、 X 線回折によって構造をマッピングします。」
この新しい情報は、素数を生成するアルゴリズムの作成にまで及ぶ可能性があると考えられています。これにより、私たちが知っている数学の全体像が変わる可能性があります。
ある意味で、この新しい研究は、数学と科学の関係についての伝統的な理解を幾分覆します。通常、科学者は数学を使って物理的な世界を予測しますが、物理的な世界を使って数学を予測できるようになりました。ガリレオ・ガリレイは、宇宙の本は数学の言語で書かれており、その文字は三角形、円、およびその他の幾何学的図形であると述べたことでよく知られています。この教訓は、400 年後でも真実であるように思われます。
